9.3. Закони Кірхгофа в диференціальній формі

Якщо від обох частин рівності (9.5) взяти інтеграл по замкненому контуру, який включає в себе джерело ЕРС, то з рівності (9.5) одержимо другий закон Кірхгофа:

. (9.5,а)

Рівність (9.5, а) називають другим законом Кірхгофа в диференціальній формі.

Якщо в провідному середовищі виділити деякий об’єм, через який протікає постійний струм, тобто струм, який не змінюється в часі, то можна сказати, що струм, який увійшов в об’єм, повинен бути рівним струму, який вийшов з об’єму, інакше в цьому об’ємі відбувалося б накопичення електричних зарядів, чого досліди не підтверджують.

У сумі ці струми записують так:

. (9.6)

Якщо поділити ліву і праву частини (9.6) на одну й ту ж величину – об’єм і спрямувати цей об’єм до нуля, то одержимо:

. (9.7)

Співвідношення (9.7) називають першим законом Кірхгофа в диференціальній формі. Воно означає, що в усталеному режимі (при постійному струмі) в довільній точці поля немає ні витоку, ні стоку ліній струму провідності .

Якщо через провідник опором протікає струм , то в одиницю часу (сек.) в провіднику виділяється енергія, яка чисельно рівна . Тоді енергія, що виділяється в одиницю часу в одиниці об’єму провідного середовища (рис. 9.1) визначається виразом:

. (9.8)

Таким чином, в одиниці об’єму провідного середовища виділяється в одиницю часу енергія, яка чисельно рівна .

9.4. Рівняння Лапласа для електричного поля у провідному середовищі

Як і в електростатичному полі, напруженість електричного поля у провідному середовищі .

Для незмінного в часі поля:

. (9.9)

Якщо провідність середовища не змінюється від точки до точки, тобто, якщо середовище однорідне й ізотропне, то як сталу величину можна винести за знак дивергенції і, відповідно, замість можна написати або

,

тобто, . (9.10)

Таким чином, електричне поле в однорідному провідному середовищі підпорядковується рівнянню Лапласа і являється потенціальним. В цьому полі в ділянках, не зайнятих джерелами енергії, циркуляція вектора напруженості електричного поля дорівнює нулю:

. (9.11)

9.5. Струм на межі розділу двох середовищ

Вияснимо, які граничні (краєві) умови виконуються при переході струму з середовища провідністю у середовище з провідністю .

На рис. 9.2 лінія 00 є межею розділу двох середовищ. Візьмемо на межі плоский замкнений контур 1–2–3–4. Сторони 1–2 і 3–4 його досить малі в порівнянні зі сторонами 2–3 й 1–4 (довжину останніх позначимо ).

О скільки циркуляція вектора напруженості уздовж всякого замкненого контуру рівна нулю, то вона рівна нулю і для контуру 1–2–3–4.

У силу малості відрізків 1–2 і 3–4 знехтуємо складовими інтеграла вздовж цих шляхів і тоді:

або , (9.12)

тобто на межі розділу двох середовищ з різними провідностями рівні тангенціальні складові напруженостей поля.

На межі розділу середовищ також рівні нормальні складові густини струмів (рис. 9.3):

. (9.13)

Отже, при переході струму з середовища з однією провідністю в середовище з іншою провідністю неперервна тангенціальна складова вектора , тобто (але ), і неперервна нормальна складова густини струму, тобто (але ).

Звідси випливає, що повні значення вектора і вектора в загальному випадку змінюються стрибком на межі розділу середовищ.

Знайдемо зв’язок між кутом падіння і кутом заломлення :

; .

Тоді . (9.14)

Якщо струм переходить з середовища з великою провідністю (наприклад, з металу) в середовище з малою провідністю (наприклад, в землю), то тангенс кута заломлення:

менший від тангенса кута падіння і, відповідно, кут менший від кута .