8.23. Електростатичне поле системи заряджених тіл
8.23.1. Потенціал довільної точки поля
При розрахунку електростатичних полів, особливо обмежених будь-якою провідною поверхнею правильної форми, широко застосовують метод дзеркальних зображень.
Як
заряджені тіла будемо розглядати
багатопровідну лінію, яка складається
з
дуже довгих проводів, протягнутих
паралельно до землі, із зарядом
на одиницю довжини. Висота підвісу
і радіус
кожного проводу відомі. Відома також
електрична проникність
середовища, в якому знаходяться проводи.
Візьмемо в діелектрику деяку точку (рис. 8.28) і розрахуємо її потенціал, який визначається сумою потенціалів, створених кожним проводом і його дзеркальним зображенням.
Складова потенціалу точки від проводу 1 і його дзеркального зображення:
(8.58)
де
–
відстань точки
до першого проводу;
–
відстань
точки
до дзеркального зображення першого
проводу.
Будемо вважати, що висота підвісу проводів над землею набагато більша від радіусів проводів, і що електричні осі проводів практично співпадають з їх геометричними осями.
Складова потенціалу точки від другого проводу і його дзеркального зображення:
(8.59)
Таким чином, потенціал точки :
(8.60)
8.23.2. Перша група формул Максвелла
Якщо точку розмістити на поверхні першого проводу, то:
;
;
;
де
– відстань першого проводу до дзеркального
зображення другого проводу;
– відстань
першого проводу до другого проводу і
тощо.
Тоді потенціал першого проводу
(8.61)
Коефіцієнти
при зарядах
,
,...,
залежать тільки від геометричних
розмірів тіл, взаємного їх розміщення
і від властивостей середовища. Вони не
залежать ні від величини, ні від знаків
зарядів, ні від потенціалів.
Для скорочення запису вираз (8.61) та інші, аналогічні йому, запишемо наступним чином:
(8.62)
Тут позначено:
;
.
(8.63)
Так як
і
,
то у відповідності з (8.63):
.
(8.63, а)
Систему рівнянь (8.62) прийнято називати першою групою формул Максвелла.
Коефіцієнти
називають потенціальними коефіцієнтами.
Розмірність їх рівна розмірності одиниці
довжини, поділеній на фараду
.
Так як у всіх коефіцієнтів під знаком логарифму знаходиться дріб, чисельник якого завжди більший від знаменника, то всі коефіцієнти додатні.
Коефіцієнтом може бути таке наступне тлумачення. Нехай заряди всіх проводів, окрім першого, рівні нулю:
,
а
.
Тоді
,
тобто
чисельно рівний потенціалу першого
проводу, якщо на першому проводі
знаходиться одиничний заряд, а заряди
на решті проводів відсутні. Аналогічно,
чисельно рівний потенціалу другого
проводу при тих же умовах. Система (8.62)
дозволяє обчислити потенціали заряджених
тіл за відомими їх повними зарядами.
Може бути і обернена задача: за відомими потенціалами тіл знайти повні заряди тіл.