8.22. Метод дзеркальних зображень

При аналітичному розрахунку електростатичних полів у кусково-однорідних середовищах, коли є геометрично правильна границя між однорідними зонами – діелектрик-провідник, діелектрик-діелектрик – застосовують метод дзеркальних зображень. Це штучний захід. Тут, крім заданих зарядів, вводять ще додаткові, фіктивні заряди, значення і місцезнаходження яких вибирають так, щоб задовольнити крайовим умовам у полі. Якщо границя між двома середовищами плоска (ми лише такий випадок розглядатимемо), то фіктивні заряди розміщують у місці дзеркального відображення заданих.

Метод дзеркальних відображень застосовують не тільки для розрахунку електростатичних полів, але й для електричних полів у провідному середовищі і для магнітних полів.

Розглянемо два випадки. Перший з них зумовлений границею «діелектрик-провідник», другий – границею «діелектрик-діелектрик».

Перший випадок. Заряджена вісь проходить паралельно до поверхні провідного середовища, наприклад, землі (рис. 8.26, а). Треба розрахувати поле у верхній півплощині (в діелектрику).

На поверхні провідника внаслідок електростатичної індукції з’являються заряди. Поле в діелектрику створюється не тільки зарядженою віссю, але й зарядами, індукованими на поверхні провідника. Хоча розподіл цих зарядів невідомий, дану задачу легко розв’язати за методом дзеркальних зображень.

Розмістимо в провіднику дзеркально відображений фіктивний заряд протилежного знаку , що дорівнює за значенням заданому заряду. Переконаємося, що напруженість електричного поля від двох зарядів і у будь-якій точці границі має тільки нормальний до границі компонент і не має тангенціального, чого вимагає умова (8.41) (рис. 8.26, а). Дійсно, тангенціальні компоненти від обох зарядів мають протилежну орієнтацію і в сумі дають нуль у будь-якій точці поверхні.

Підставивши потенціал від кожної з осей (8.46) у рівняння Лапласа (8.38), одержимо:

. (8.52)

Оскільки потенціал кожної із осей задовольняє рівнянню Лапласа і граничним умовам, то одержаний розв’язок є істинним.

Картину поля зарядженої осі, розміщеної паралельно до провідної площини, зображено на рис. 8.26, б.

Другий випадок. Як показано на рис. 8.27, а, верхній півпростір заповнений діелектриком з проникністю , нижній – діелектриком з проникністю . У верхньому півпросторі паралельно до границі розділу знаходиться заряджена вісь із зарядом . Внаслідок поляризації діелектриків на межі розділу з’являються «зв’язані» заряди, котрі впливатимуть на поле в обох середовищах. Їх вплив здійснюють введенням двох додаткових фіктивних зарядів, на відміну від попередньої задачі, де вводиться один заряд. Це зумовлено тим, що в першому випадку треба було задовольнити одну граничну умову ( ), а тепер треба задовольнити дві ( ).

Поле у верхньому півпросторі розраховують від двох зарядів: заданого і фіктивного , причому нижній півпростір заповнюють діелектриком з діелектричною проникністю (рис. 8.27, б). Поле у нижньому півпросторі визначають як поле від деякого фіктивного заряду , розміщеного на місці заряду , а верхній півпростір заповнюють діелектриком з діелектричною проникністю (рис. 8.27, в).