9.Потенциалды өріс.

Егер өрістің барлық нүктесінде ротор 0-ге тең болса, онда а векторының өрісі потенциалды өріс деп аталады (немесе құйынсыз, градиентті өріс)Потенциалды өрістің мысалдары: нүктелік зарядтың кернеулігінің электр өрісі болып табылады.

Қасиеттері.

1. Әр бір тұйық контур бойымен осы өрістегі а потенциалды өрісінің циркуляциясы 0-ге тең.

2. а потенциалды өрістен басы М₁ және соңы М₂ нүктедегі әр бір Lқисығы бойымен қисық сызықты интеграл тек қана М_1, М₂ нүктелерінің орналасуына тәуелді және қисықтың формасына тәуелді емес.

3. Потенциалды өріс қандай да бір скаляр функциясының градиент өрісі болып табылады, яғни егер rota=0болса, онда а=gradU болатындай функциясы болды.

10.Гармоникалық өріс.

Егер а векторлық өрісі бір уақытта потенциалды және соленоидты болса, онда ол гармоникалық өріс деп аталады. Гармоникалық өрісінің мысалы. Көздер мен ағымдар болмаған кезде сұйықтың стационар құйынсыз ағынының сызықтық жылдамдығының өрісі болып табылады. а өрісі потенциалды болғандықтан , оны а=gradU түрінде жазуға болады. Мұнда өріс потенциалы , бірақ өріс сонымен қатар соленоидты болғандықтан diva=divgradU=0

Яғни а гармоникалық өрісінің U потенциалдық функциясы Лапласының диф.теңдеудің шешуі болып табылады. Мұндай функция гармоникалық деп аталады.

11. 1-ші текті қисықсызықты интегралдар Егер шегі бар және ол АВ қисығын п-бөлікке бөлгеннен,осы бөліктің әр бөлігінен Мі нүктесін алу тәртібінен тәуелсіз болса, онда осы шек фун-ң АВ қисығы б/ша алынғын 1-ші текті қисықсызықты интегралы деп аталады да, былай белгіленеді,

Қасиеттері 1. Доға ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралдың мәні АВ қисығының бағытына тәуелді емес.

2. Тұрақты көбейткішті қисық сызықты интеграл таңбасы алдына шығаруға болады.

3. Екі функцияның қосындысының қисық сызықты интегралы осы функциялардың қисық сызықты интегралдарының қосындысына тең.

4. Егер ав қисығы с нүктесі арқылы ас және св бөліктеріне бөлінсе, онда

5. Егер АВ қисығының нүктелерінде

онда

6.

7. Егер онда

мұнда S – АВ қисығының ұзындығы.

1-ші текті қисықсызықты интегралдар-ды есептеу.

1.Қисық кеңістікте параметрлік теңдеулермен берілсін: x=𝝋(t), y=𝛹(t), z=x(t), t₀≤t≤T

Onda

2.қисық жазықтықта параметрлік теңдеулермен берілсін.

X=(t), y=𝛹(t), t₀≤t≤T

(t))

3.қисық жазықтықта айқын түрде берілсін. y=𝝋(x), a≤x≤b

4.қисық жазықтықта поляр координаталармен берілсін. ⍴=⍴(𝝋) 𝜶≤𝝋≤𝜷

12. Екінші текті қисық сызықты интеграл егер бұл шек бар болса.

Дәл осылайша АВ қисығындағы кез келген Q(x, y, z) және R(x, y, z) функциялары үшін y және z айнымалылары бойынша қисық сызықты интегралдарын анықтауға болады:

егер бұл шектер бар болса. x, y және z айнымалылары бойынша қисық сызықты интегралды екінші текті қисық сызықты интеграл деп атайды. Қисық сызықты интегралдардың

Қосындыларын да екінші текті қисық сызықты интеграл деп атайды және

символымен белгілейді.

Бұл интегралдардың әрқайсысы интегралдау жолдарына тәуелді, яғни

Екінші текті қисық сызықты интегралдарды есептеу. Ан. Егер λ 0-да Инегралдық қосындылардың қисықты бөлшектеу ж-е бөліктерден нүктелерін тандау әдістерінен тәуелсіз нақты шектері бар болса, онда ол сан АВ қисығы бойынша 2-ші текті қисық сызықты интег-л д.а. Жалпы түрде жазылымы. . Қисық сызықты жол бойынша материял-дық нүкте қозғалысы жұмысының күші. A= . Кеністікте қисық үшін . Жазықтықтағы қисық үшін. X=x(t), y=y(t), t . Кеңістіктегі қисық үшін x=x(t), y=y(t), z=z(t), t [𝜶,𝜷], Егер қисық у=y(x), x [a,b] түрінде болса онда dx+Q(x,y)dy= (x,y(x))+Q(x,y(x))y’(x))dx. Грин фор-ласы. АВ қисығының оң бағыты бщйынша. ∮Pdx+Qdy= dxdy. Қисық сызықты интег-л инте-лдау жолынан тәуелсіз болу үшін ,y)dy=0 теңдігінін орындалуы жеткілікті. Бұның негізінде dF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy теңдігі тура болады.

Екінші текті қисық сызықты интегралдың қасиеттері

 Тікелей анықтамадан шығатын екінші текті қисық сызықты интегралдардың қасиеттерін қарастырайық. Сонымен қатар, төмендегі интегралдарды бар болады деп ұйғарайық.

1. Тұрақты көбейткішті қисық сызықты интеграл таңбасы алдына шығаруға болады:

мұнда k – сан.

2. Екі функцияның қосындысының қисық сызықты интегралы осы функциялардың қисық сызықты интегралдарының қосындысына тең:

3. Егер АВ қисығы С нүктесімен екі бөлікке бөлінсе, онда АВ қисығы бойынша қисық сызықты интеграл осы екі бөлік бойынша алынған қисық сызықты интегралдардың қосындысына тең:

4. L тұйық қисығы бойынша қисық сызықты интеграл бастапқы нүктені таңдаудан тәуелді емес, ал қисықты айналу бағытына тәуелді.

мұнда А₁ – L қисығының кез келген нүктесі.