3. Скаляр өрісінің градиенті

туындысы неғұрлым үлкен мәнге ие болатын бағыт скаляр өрісінің градиенті деп аталады векторды көрсетеді.

Координаталары М(х,у,z) нүктесінде функциясының дербес туындыларының мәні болып табылатын вектор функциясын градиенті деп ататлады және деп белгіленеді.

( ) немесе

- векторлық шама.

U скаляр өрісі градиентінің векторлық өрісін тудырады. Екінші теңдеуді мына түрде жазуға болады.

(3)

векторымен бағыты арсындағы бұрыш.

(3) формуласынан бағыт бойынша туындысының болғанда, яғни болғанда ,ең үлкен мәнге ие болатыны көрінеді.

Градиент бағыты бағытымен сәйкес келеді. Оның бойымен функция бәрінен де жылдам өзгереді, яғни функцияның градиенті функцияның ең тез өсуін бағытын көрсетеді.

М нүктесіндегі U функциясының ең үлкен өзгеріс жылдамдығы мынаған тең.

Градиентінің физикалық мәні осында. Әр нүктедегі өріс градиенті бір мәнді анықталған вектор болып табылады.

4. Векторлық өріс Өрістің векторлық сызықтары.

а=а(М) векторымен берілетін векторлық өрісті қарастырамыз. Өрісті оқуды векторлық сызықтар түсінгенмен бастаған ыңғайлы. Олар өрістік қарапайым геометриялық мінездемелері болып табылады. Өрістің а-векторлық сызығы деп әрбір М нүктесінде жүргізілген жанаманың оған сәйкес А(М) векторлық бағыты бар сызық аталады. Бұл түсінік нақты өрістер үшін анық физикалық мағынаға ие. Мысалы, ағымдағы сұйық жылдамдығының өрісінде векторлық өрістер болып бойымен сұйықтықбөлшектері (ток сызықтар) қозғалыста жатқан сызықтар табылады. Магнит өрісі үшін векторлық сызықтар солтүстік полюстен шығып, оңтүстік полюстен аяқталатын сызықтар болады. Қандай да бір тұйық сызық арқылы өтетін өрістің барлық векторлық сызықтық тобы (қосылы) векторлық түтік деп аталады.

Векторлық сызықты оқуды ,оның векторлық сызықтарына орналасқан оқудан бастайды.

a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k (1)

өрістің векторлық сызықтары

dх P(x,y,z)= dу/ Q(x,y,z)=dz/ R(x,y,z) (2)

(2) түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесіменг суреттеледі. Шынында да, Р, Q өрістің векторлық сызығы r=xi+yj+zk оның радиус векторы болса, онда dr=dxi+dyj+dzk векторы жанама бойынша М нүктесінде Р, Q сызығынаа бағытталады. а және dr векторының коллениарлығының күшіне олардың проекциясының пропорционалдығы , яғни теңдігі шығады.

Векторлық өрістің ағыны

А-векторының к ағыны скаляр шама екенін айта кетеміз. К шамасы бірлік уақыт аралығында S бет арқылы ығатын сұйық көлеміне тең . ағынның физикалық мағынасы осында.

Бет тұйық болып V көлемді шектеп тұрған жағдайды ерекше деп қарастыруға болады. Онда вектор ағымын мына түрде жазады.

Бұл жағдайда п векторлық бағыты ретінде ішкі нормаль бағытын алады да, ағын туралы S бетінің ішінен айтады. Егер а а(М) векторлық өріс ағып жатқан сұйықтың жылдамдық өрісі болса, онда к ағын шамасы тұйық бет арқылы облысына ағып, бірлік уақыт аралығында оған құйылатын сұйық мөлшері арасында айырманы береді. Сонымен бірге, к 0-ден артық болса, онда көлемнен ағып кіретін сұйық көлеміне қарағанда ағып шығатын сұйық көбірек болады.

Бұл облыс ішінде қосымша көздер бар екенін білдіреді. Егер к 0-ден кіші болса, онда облысының ішінде сұйық шығынын сіңіретін ағана болады. Көздер- векторлық сызықтар басталатын нүктелер, ал ағындар векторлыық сызықпен аяқталатын нүктелер деп аталатын болады. Осылай электр өрісінде көз оң заряд,ал ағын магниттің теріс заряды болып табылады.

Егер к 0-ге тең болса, көлемнен бірлік уақыт аралығында қанша сұйық ағып кірсе, сонша сұйық шығады. Облыс ішінде немесе көздер де ағындар да жоқ немесе олардың әсері өзара компенсацияланады.