1.Лаплас түрлендіруі.Түпнұсқа,бейне. F(p)= интегралымен ан-ықталатын Р айнымалылы F(p) функ-сы f(t) функ-сының бейнесі депте аталады. f(t) түпнұсқадан F(p) бейнесіне көшу амалы ЛАПЛАС ТҮРЛЕНДІРҮ д.а. F(p)-сы f(t)-ның бейнесі болу үшін =0 теңдігінің орындалуы қажет. Хэвисаид фун-сы n(t)

f(t)*

Нақты айнымалы t-ның функциясы үшін мына шарттар орындалсын:

1) Айнымалы t-ның мәндерінде функция мәні болсын;

2) Нақты айнымалы t-ның функциясы барлық мәндерінде үздіксіз болсын.

Үздіксіздік шарты тек бірінші текті үзіліс нүктелерінде ғана орындалмасын және ондай нүктелер саны шектеулі болсын;

3) Берілген функциясының өсу дәрежесі шектеулі болсын, яғни барлық мәндерінде теңсіздігі орындалатындай және сандары табылсын. Осы шартты қанағаттандыратын сандарының ең кішісі функциясының өсу көрсеткіші деп аталады.

Осы (1)-(3) шарттарды қанағаттандыратын функциясы түпнұсқа деп аталады.

2. Сызықтық, кешігу, ығысу теоремалары.

1. Сызықтық қасиет. Егер f₁(t)≑F₁(p) f₂(t)≑F₂(p) болса, онда С₁f₁(t)+C₂f₂(t)≑C₁F₁(p)+C₂F₂(p); C₁,C₂=const болады.

2. Ұқсастық. Егер f(t) F(p) болып f( *F(

3. Ығысу. Егер f(t) F(p) болса, онда e^at*f(t) F(p-a) болады, яғни f(t) түпнұсқасы e^at дәрежесінің көбейтуіне оның бейнесінің Р айнымалысы а санына ығысады.

4. Кешігу. Егер f(t) F(p) болады.

3.Түпнұсқамен бейнені диф-дау және интегралдау.

Түпнұсқаны дифференциалдау

Егер өсу көрсеткіші болатын функциясы мен оның туындысы түпнұсқалар, ал функциясы түпнұсқасының бейнесі болса, онда мынадай сәйкестік орындалады:

Дербес жағдайда, егер болса, онда

Дәлелдеу үшін интегралын бөліктеп интегралдаймыз:

Ал болғандықтан

бағалауын аламыз.

Сондықтан болады да сәйкестігін аламыз.

Бейнені дифференциалдау

Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда

Дәлелдеу

Лаплас интегралын р параметрі бойынша дифференциалдайық:

Теореманы біртіндеп дифференциалдау амалына қолданып, жалпы түрдегі формуланы аламыз:

Бейнені интегралдау

Егер -түпнұсқа болса, онда сәйкестігі орындалады.

Дәлелдеу

белгілеуін еңгізіп формуласына бейнені дифференциалдау туралы теореманы қолданамыз. Сонда Бірақ болғандықтан, теңдігі алынады.

Осы арақатынасын р-дан В-ға дейін интегралдап мынаны аламыз:

Ал Ф(р) түпнұсқаның бейнесі болғандықтан орындалады.

Сондықтан бейнесі алынады.

Түпнұсқаны интегралдау

Егер -түпнұсқа, ал оның бейнесі болса, онда

Дәлелдеу үшін деп белгілейік те, түпнұсқаны дифференциалдау теоремасын пайдаланайық. Сонда алынады.

Егер сәйкестігін белгілесек деп жазуға болады. Мұнда екендігі ескерілген. Ал болғандықтан сәйкестігі шығады. Осыдан яғни

4.Функцияны үйірткелеу.Көбейту тео-ы. Дюамель фор-ы.

Дюамель формуласы

Егер және -түпнұсқалар және болса, онда мына теңдік орындалады:

Бұл Дюамель формуласы деп аталады.

Дәлелдеу

көбейтіндісін мына түрде жазайық:

Бұл теңдіктің оң жағындағы екінші қосылғыш және түпнұсқаларының бейнелерінің көбейтіндісін береді. Олай болса, осы теңдікке бейнелерді көбейту теоремасын қолданайық:

Үйірткі туралы тео-а.

және бейнелерінің көбейтіндісі де бейнелер болады. әрі бұл интеграл түпнұсқа болады да және функияларының үйірткісі деп аталып деп белгіленеді. ФОРМ.

5.Белгілі бейне б/ша түпнұсқаны анықтау.

1) онда бұл бөлшекті элементар бөлшектерге жіктеп түпнұсқа мен бейненің қасиеттерін қолданып әрқайсысының түпнұсқасын табу керек.

2) болса, онда бей-ің түп-ын табу үшін кешігі теоремасын қолданамыз.