
- •Преобразование Фурье.
- •Примеры вычисления преобразования Фурье.
- •Свойства преобразования Фурье.
- •Преобразование Фурье и операция дифференцирования.
- •Преобразования Фурье и свертка.
- •Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности.
- •Связь между убыванием функции при и гладкостью её преобразования Фурье.
- •Аналитичность преобразования Фурье.
- •Преобразование Фурье в классе .
Преобразование Фурье в классе .
В случае области
бесконечной меры пространства
не
вкладываются одно в другое. В частности,
(пример:
).
Поэтому преобразование Фурье не применимо
в обычном смысле к тем функциям из
,
которые не принадлежат
.
Тем не менее в пространстве
можно
ввести преобразование Фурье, но понимать
его надо в более широком смысле, чем в
.
Теорема (Планшерель,
1910 г.). Для
всякой функции
интеграл
(1)
представляет
собой функцию, принадлежащую (по
)
пространству
.
При
последовательность
в метрике
имеет некоторый предел
,
причем
(2)
Если f(x),
кроме того, принадлежит
,
то
есть обычное преобразование Фурье
функции f(x).
Поэтому
и в общем случае (когда
) называется преобразованием Фурье от
f(x).
Замечание 1. В теории обобщенных функций доказывается, что преобразование Фурье отображает на взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Замечание 2.
Справедливо
более общее, чем (2), соотношение. Именно,
если
и
– любые функции из
,
а
– их преобразования Фурье, то
Для доказательства
достаточно рассмотреть равенство (2)
для
.
Соотношения между гладкостью функции и убыванием ее преобразования Фурье сохраняются и в .
Утверждение.
Пусть
является локально абсолютно непрерывной,
и
.
Тогда
.
Верно и обратное утверждение: если
и
,
то
есть локально абсолютно непрерывная
функция, и
Доказательство в [2], стр.393-394.
Если
и финитна (равна нулю вне отрезка [-b;b]),
то она принадлежит пространству
и ее преобразование Фурье – функция
может быть аналитически продолжена в
плоскость
.
Действительно, выражение
определено при всех комплексных
.
Оно удовлетворяет оценке
и является аналитической функцией от
.
Определение.
Целая
аналитическая функция
,
удовлетворяющая неравенству
,
называется функцией
экспоненциального типа
.
Мы видим, что
преобразование Фурье квадратично
суммируемой функции, обращающейся в
ноль при
,
есть целая функция экспоненциального
типа. Справедлива и обратная теорема.
Теорема (Винер
- Палей) [2]. Если
целая функция
экспоненциального типа
интегрируема в квадрате по вещественной
оси, то она является преобразованием
Фурье функции
,
равной нулю вне отрезка [-b;b].