Преобразования Фурье и свертка.

Пусть и преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций f₁(x) и f₂(x). Выясним, преобразованием Фурье какой функции является произведение :

.

Двойной интеграл абсолютно сходится (существует повторный от модулей, поэтому существует двойной от модулей по следствию теоремы Фубини). Чтобы от двух экспонент перейти к одной, сделаем замену :

.

Перестановка интегралов законна в силу теоремы Фубини.

Определение. Сверткой функций f₁(x) и f₂(x) называется функция того же аргумента x . Свертка обозначается (f₁* f₂)(х).

При свертка f(x)= (f₁* f₂)(х) существует при почти всех х и принадлежит в силу теоремы Фубини.

Итак, свертка двух функций из преобразованием Фурье переводится в произведение их образов.

Свертка коммутативна и ассоциативна, поскольку преобразованием Фурье она переводится в коммутативную и ассоциативную операцию умножения.

Упражнение. Пусть е_а(х) – характеристическая функция интервала 0<x<a. Найти свёртку , a<h<b.

Решение.

При под интегралом ноль: ; при и при обе функции и равны нулю.

Если , то (здесь x-b<a, так как x<a+h<a+b).

Если a+h<x≤a+b, то (здесь также ).

Если a+b<x≤a+b+h, то (здесь a+h<x).

1 1 x x a a+h a+b a+b+h a a+b

Очевидно, что в и почти всюду.

Задача. Доказать, что для любой в .

Указание. Для f(х)= е_b(х) показали. Очевидно, что равенство верно для линейных комбинаций функций вида е_b(х). При переходе к пределу воспользоваться ограниченностью нормы второго сомножителя.

Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности.

Рассмотрим применение преобразования Фурье для решения дифференциальной задачи в частных производных на примере задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности

, -∞ < x < ∞, ,

.

Чтобы применить к этой задаче классическое преобразование Фурье, мы должны предположить, что эта задача имеет решение, которое удовлетворяет следующим условиям:

а) при любом фиксированном , , ;

б) функция имеет в каждом интервале интегрируемую мажоранту

Последнее условие гарантирует корректность дифференцирования по параметру t под знаком интеграла функции . Применим к уравнению теплопроводности преобразование Фурье:

, , ,

.

Решение полученного обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии хорошо знакомо: . Мы знаем, что , . Отсюда при имеем .

По формуле свертки

,

и так как , то окончательно

.

Полученная формула решения называется интегралом Пуассона.

Связь между убыванием функции при и гладкостью её преобразования Фурье.

Знаем, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции есть ограниченная непрерывная функция , стремящаяся к нулю при . Предположим теперь, что не только , но и . Тогда можно утверждать, что функция дифференцируема. Действительно, формальное дифференцирование по параметру интеграла Фурье приводит к интегралу , который является абсолютно сходящимся и равномерно сходящимся по параметру . В силу теоремы о дифференцировании интеграла Лебега по параметру функция дифференцируема и производная равна , то есть

.

Производная – преобразование Фурье интегрируемой функции, поэтому снова непрерывна, ограничена и стремится к нулю при .

Если вместе с функцией абсолютно интегрируемыми на оси являются также функции , ,…, , то процесс дифференцирования можно продолжить. Мы получим, что функция имеет производные до порядка m, непрерывные, ограниченные и стремящиеся к нулю при . При этом имеет место формула ,

Для произвольного многочлена степени .

Видим, что чем более сильные условия убывания на бесконечности наложены на функцию , тем более гладкой получается функция .

В связи с изложенным можно указать важный класс функций, который при преобразовании Фурье переходит в самого себя, только с заменой аргумента на . Рассмотрим совокупность бесконечно дифференцируемых функций , которые для всех удовлетворяют неравенствам ,где ‑ постоянная, зависящая от выбора функции . Через обозначим класс таких же функций аргумента .

Заметим прежде всего, что при любых целых неотрицательных k и q произведение , так как .

Пусть . По доказанному , причём . Функция и все её последовательные производные интегрируемы, поскольку линейно выражаются через интегрируемые функции . Поэтому функции ограничены при всех и как преобразования Фурье интегрируемых функций (в последнем равенстве использованы два свойства преобразования Фурье: и ).

Итак, если принадлежит , то . Обратно, пусть . Построим функцию . Функция есть, очевидно, преобразование Фурье функции и поэтому входит в . Но тогда, очевидно, и . По формуле обращения (функции из удовлетворяют условию Дини в каждой точке).

Итак, каждая функция есть преобразование Фурье функции (причём ).

Таким образом, при преобразовании Фурье класс отображается на весь класс . Символически этот факт можно записать равенством .