Примеры вычисления преобразования Фурье.
Найдем преобразование
Фурье для функции
,
где m–
натуральное число, а
– невещественная
постоянная. Пусть, например,
.
Интеграл
абсолютно сходится при
,
но при
он существует как условно сходящийся
в смысле
.
При любом
этот
интеграл удобно вычислять методом
контурного интегрирования. При этом
используется
Лемма Жордана.
Пусть функция
голоморфна в полуплоскости
всюду, за исключением изолированного
множества особых точек, и
на полуокружности
стремится к нулю при
(или
по последовательности
такой, что
не содержит особых точек
).
Тогда для любого
интеграл
стремится к нулю при (или по соответствующей последовательности ).
Доказательство
леммы Жордана.
Обозначим через
– правую
половину
.
В силу выпуклости синусоиды при
имеем
и, значит, на
справедлива
оценка
.
Поэтому
при
.
Оценка для
проводится аналогично:
.
Лемма Жордана доказана.
Для
рассмотрим контур
так,
чтобы выполнялась лемма Жордана для
функции
при
.
Внутри контура при достаточно большом
значении N
находится точка
– полюс
подынтегральной функции. По теореме о
вычетах
.
Указанный вычет
легко сосчитать, если разложить функцию
в ряд Тейлора по степеням
:
.
Вычет есть
коэффициент при
;
следовательно, для
.
Устремляя
,
получаем для
Для
надо рассмотреть полуокружность
в нижней полуплоскости. Здесь по теореме
Коши об интеграле по замкнутому контуру
от голоморфной функции, получим
.
Итак, при
имеем
Для случая
аналогично можно найти
В обоих случаях
функция
экспоненциально убывает при
.
Любая дробно-рациональная
функция, не имеющая особенностей на
вещественной оси и стремящаяся к нулю
на бесконечности, разлагается на
простейшие дроби вида
,
где
.
Поэтому полученные формулы позволяют
написать преобразование Фурье от любой
дробно-рациональной функции, при этом
сохранится экспоненциальное убывание
при
.
Рассмотрим второй пример. Найдем преобразование Фурье от функции
,
.
– интеграл от
аналитической функции
по вещественной оси, z=x+iy.
Так как
,
то в любой горизонтальной полосе
подынтегральная функция при
стремится к нулю равномерно по y.
Поэтому, используя теорему Коши, можно
при интегрировании перейти на любую
параллельную прямую в z
–плоскости,
не изменяя результата:
=
Положим
,
тогда
и по известной формуле
.
(Известная формула –
интеграл вероятности
).
В частности, для
,
,
получаем
– функцию того же вида, отличающуюся
от исходной функции только множителем
.
Свойства преобразования Фурье.
Далее оператор
Фурье:
.
Это линейный оператор, обратный к
которому имеет вид
.
Преобразование Фурье и операция дифференцирования.
Предположим, что абсолютно интегрируемая функция f(x) абсолютно непрерывна в окрестности каждой точки и её производная также абсолютно интегрируема на оси -∞<x<∞. Выясним, как связаны преобразования Фурье функции f(x) с её производной.
Заметим, что из
интегрируемости
следует
существование предела функции
при
.
Этот предел может быть только нулём,
так как иначе f(x)
не была бы интегрируемой. Интегрированием
по частям получаем
.
По доказанному, внеинтегральный член равен нулю. Получаем равенство
.
Если у функции f(x) интегрируемы производные до порядка m, то, повторяя процесс, получаем,
k=0,1,..,m.
Так как, как
преобразование
Фурье интегрируемой функции есть
ограниченная функция от
(и даже стремящаяся к 0, при
),
то
.
Итак, чем больше функция f(x) имеет интегрируемых производных, тем быстрее её преобразования Фурье стремятся к нулю на бесконечности.
Замечание.
В частности, при некоторой гладкости
функции f(x)
её преобразование Фурье
становится также абсолютно интегрируемой
функцией. Из полученного неравенства
видно, что для этого достаточно
существования в
и
.
Можно ограничиться существованием
и
,
но при дополнительном условии, что они
принадлежат не только
,
но и
.
В этом случае из
следует
,
откуда
.
Для любого линейного
дифференциального оператора
с постоянными коэффициентами порядка
≤m
получаем
.
Линейное
дифференциальное уравнение на оси
относительно функции f(x)
переходит в алгебраическое уравнение
на оси
относительно
.Это
открывает новые возможности для решения
дифференциальных уравнений. Поскольку
дифференциальные уравнения, к которым
можно применить этот метод должны быть
линейными с постоянными коэффициентами,
то для обыкновенных дифференциальных
уравнений этот метод мало что даёт
(учитывая, тем более, что мы должны
оставаться в границах класса интегрируемых
на всей оси функций). Но для уравнений
с частными производными метод
преобразования Фурье уже оказывается
полезным.