9) Основные логические операции в алгебре логики

В алгебре логики существует три основные операции:

• Логическое отрицание {инверсия).

Обозначается: ?А,  ¬A, not А, не А. Высказывание  ¬А истинно при ложном А и ¬А ложно при истинном А.

• Логическое умножение {конъюнкция).

Обозначается А&В, A and В, А*В, А^В, АВ, А и В. Высказывание А ^ В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

• Логическое сложение {дизъюнкция).

Обозначается: A v В, A or В, А + В, А или В. Высказывание A v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Остальные операции алгебры логики выражаются через первые три опе­рации: отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Перечислим их.

• Логическое следование {импликация).

Обозначается: А > В, А => В. Высказывание А > В ложно только тогда, когда А истинно, а В ложно. Важно: в операции импликации посылка А не обязана быть истинной, в отличие от логического оператора в языках программирования «если А, то В». Импликация выражается через дизъюнкцию и отрицание: А => В = A v В.

• Эквивалентность (равносильность, необходимо и достаточно).

Обозначается: А ~ В, А <=> В, А = В. Высказывание А <=> В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Эквивалентность выражается через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: А <=> В = (¬А v В) ^ (¬B v А).

• Исключающее ИЛИ.

Обозначается A XOR В. Высказывание A XOR В истинно, когда А и В не равны.

Порядок исполнения операций задается круглыми скобками. При отсутствии скобок порядок выполнения операций следующий: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Формула алгебры логики (или составное высказывание) состоит из нескольких высказываний, соединенных логическими операциями. Исходные высказывания могут быть логическими переменными или логическими константами (имеющими постоянное значение ИСТИНА или ЛОЖЬ). Логическая функция определяется на множестве логических переменных и логических констант, принимающих значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Значение функции вычисляется в результате выполнения логических операций с (или над) логическими операндами. Например:

F (А, В, С) = А ^ (¬ В v С);      F(x1, х2, х3) = ¬x1 v х2 ^ ¬ х3

Логическую функцию можно задать двумя способами: логической формулой или таблицей истинности.

Таблица истинности задает значения функции при всех возможных наборах ее переменных.

Таблицы истинности простейших логических функций          

Таблицы истинности простейших логических функций           A B ¬A A^B AVB A>B A-B A XOR B 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

1. Язык логики и его место в базовом курсе Логика - наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Основы логики как науки были заложены в IV в. до н.э. древнегреческим ученым Аристотелем. Правила вывода истинности высказываний, описанные Аристотелем (силлогизмы) оставались основным инструментом логики вплоть до второй половины XIX в., когда в трудах Дж. Буля, О. де Моргана и др. возникла математическая логика. Средствами этой новой науки все прежние достижения логики были переведены на точный язык математики. Развивается аппарат алгебры логики (булевой алгебры), исчисления высказываний, исчисления предикатов. Развитие математической логики имело большое значение для всей математической науки, повысив уровень ее строгости и доказательности. Логика относится к числу дисциплин, образующих математический фундамент информатики. Знакомство учащихся с элементами математической логики в рамках курса информатики может происходить в следующих аспектах: 1. процедурно-алгоритмическом; 2. в логическом программировании; 3. схемотехническом. К первому аспекту относится использование логических величин и логических выражений в языках программирования процедурного типа, а также в работе с электронными таблицами, с базами данных. В условных операторах, условных функциях, реализующих алгоритмическую структуру ветвления, используются логические выражения. В запросах на поиск информации в базах данных также присутствуют логические выражения. Использование в программах величин логического типа позволяет эффективно решать сложные логические задачи, «головоломки». Впервые в школьной информатике элементы логического программирования языка Пролог были включены в учебник. Согласно авторской концепции одной из главных задач школьной информатики должно быть развитие логического мышления учащихся, умения рассуждать, доказывать, подбирать факты, аргументы и обосновывать предлагаемые решения. Как известно, парадигма логического программирования является альтернативной к процедурной парадигме. В механизме вывода Пролога используется аппарат исчисления предикатов. В контексте моделирования знаний элементы логического программирования присутствуют в учебнике. В первой части учебника рассказывается лишь об идее построения логической модели знаний. Реализация этой идеи на Прологе раскрывается во второй части, ориентированной на углубленное изучение базового курса. Под схемотехническим аспектом понимается знакомство с логическими схемами элементов компьютера: вентилей, сумматоров, триггера, предназначенных для обработки и хранения двоичной информации. При изучении данной темы следует обратить внимание учеников на то обстоятельство, что основой внутреннего языка компьютера является язык логики, булева алгебра. Это связано с двумя обстоятельствами: во-первых, внутренний язык компьютера и язык логики используют двоичный алфавит (0 и 1); во-вторых, все команды языка процессора реализуются через три логические операции: И, ИЛИ, НЕ.

7) Шифрование

• Шифрование – это изменение формы представления передаваемого сообщения с целью предотвращения хищения информации.

• Например, одним из способов шифрования был шифр Цезаря, когда каждая буква текста заменялась другой буквой – второй, третьей или седьмой, следующей за ней в алфавите (алфавитном кольце). Иногда шифровали в обратную сторону – брали вторую, пятую и т. д. букву, предстоящую перед ней в алфавитном кольце.

• Для того, чтобы получатель сообщения (приёмник информации) мог прочитать его, он должен иметь «ключ», то есть знать, как источник информации закодировал данное сообщение.

Шифрование и кодирование

• Чем отличается шифрование от кодирования?

• Отличаются они целью изменения формы представления передаваемого сообщения:

  • кодирование осуществляется с целью преобразования формы представления в более удобную для хранения, передачи, обработки или использования;

  • шифрование осуществляется с целью предотвращения хищения информации (смысла сообщения).