Шмарин Сергей Владимирович, преподаватель пггпу олимпиадные планиметрические задачи

Данный курс содержит некоторые важные планиметрические вопросы, которые пригождаются при решении планиметрических олимпиадных задач.

1. Вписанные углы

1.4 Секущие к окружности Секущей называется прямая, пересекающая прямую в двух точках.

1.9. В окружности с центром O проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. Точка E —середина радиуса OA. На луче EB отложен отрезок EK, равный отрезку CE. Докажите, что отрезок KC равен стороне правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность.

1.10. Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся заданной прямой.

1.11. Постройте прямую, параллельную основаниям трапеции, которая делит эту трапецию на две подобные трапеции.

1.12. Постройте квадрат, одна сторона которого служит хордой данной окружности, а противоположная ей сторона принадлежит касательной к этой окружности. Найдите отношение стороны квадрата к радиусу окружности.

1.13. В прямоугольном треугольнике ABC опущена высота CD на гипотенузу AB. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны r1 и r2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

1.14. В треугольнике ABC проведена высота BK и медиана BM, причем AM = BM. Найдите косинус угла KBM, если AB = 1, BC = 2.

2. Замечательные точки треугольника

Расстояние между центрами O и I описанной и вписанной окружностей и радиусы R и r этих окружностей связаны замечательной формулой:

называемой формулой Эй л е р а. Вот доказательство этой формулы.

Доказательство. 1. Пусть биссектриса угла C треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D (рис. 34). Проведем диаметр DP этой окружности и перпендикуляр IK из центра I вписанной окружности на сторону AC. Тогда IK = r, DP = 2R. Пусть прямая OI пересекает окружность в точках M и N. По теореме о секущих (п. 2.5) CI · ID = IM · IN = (R + d)(R − d) = R²− d² , где d = OI. Это же произведение CI · ID вычислим иначе. Из подобия прямоугольных треугольников PAD и CKI (по равным острым углам при вершинах P и C) имеем CI/2R = r/AD. Но AD =ID Поэтому CI · ID = 2Rr. Следовательно, R² − d² = 2Rr.

Окружность девяти точек

3. Вписанные и описанные четырехугольники

3.1 Критерии вписанного четырехугольника

Теорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180◦ (т. е. суммы его противоположных углов были равны).

Н е о б х о д и м о с т ь этого условия очевидна: сумма углов A и C вписанного четырехугольника ABCD измеряется полусуммой дуг BCD и BAD, составляющих полную окружность, и потому равна 180^о

3.1 Критерии описанного четырехугольника

Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.

Другой критерий описанного четырехугольника связан с его сторонами.

Еще критерии описанности четырехугольника:

Теорема. Пусть BD —внешняя диагональ невыпуклого четырехугольника ABCD и его противоположные стороны пересекаются в точках B₁ и D₁. Для того, чтобы в четырехугольник A B₁C D₁ можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:

1) суммы противоположных сторон четырехугольника ABCD равны

2) B B₁ + D B₁ = D D₁ + B D₁

.

Задачи

3.1. Дан четырехугольник ABCD, отличный от трапеции и параллелограмма. Через вершины A и C проведены прямые, параллельные соответственно CD и AB и пересекающие прямые BC и AD соответственно в точках B1 и D1. Если четырехугольник ABCD является описанным, то и четырехугольник AB1CD1 описанный. Если же четырех-

угольник ABCD является вписанным, то вписанным будет и четырехугольник AB1CD1.

3.2. В четырехугольнике ABCD сумма углов BAC и ACD равна сумме углов BCA и CAD и равна 90◦. Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны.

3.3. Около окружности описана равнобочная трапеция. Докажитечто ее высота есть среднее геометрическое оснований.

3.4. Докажите, что в описанном четырехугольнике равны суммыуглов, под которыми видны из центра вписанной окружности противоположные стороны.

3.5. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются.

3.6. Каждая из четырех окружностей внешне касается двух других. Докажите, что точки касания лежат на одной окружности.

3.7. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и AC в точках D и E. Докажите, что точки пересечения прямой DE с биссектрисами углов B и C лежат на одной окружности с точками B и C.

3.8. Биссектрисы углов, образованных противоположными сторонами выпуклого четырехугольника, перпендикулярны. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.

3.9. В треугольник ABC вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Найдите длину отрезка, отсекаемого на этой касательной сторонами треугольника, если известны длины a, b, c сторон данного треугольника.

3.10. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению ее оснований.

3.11. Докажите, что площадь равнобочной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

3.12. Докажите, что квадраты расстояний центра окружности, вписанной в четырехугольник, до двух его противоположных вершин относятся как произведения сторон, сходящихся в этих вершинах.

3.13. В окружность вписан четырехугольник с перпендикулярными диагоналями. Основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диагоналей на стороны, являются вершинами второго четырехугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность.

3.14. Из основания каждой высоты треугольника опущены перпендикуляры на две другие его стороны. Докажите, что основания всех шести перпендикуляров лежат на одной окружности.

3.15. Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что ортогональные проекции точки их пересечения на стороны лежат на одной окружности. Докажите обратное утверждение.

3.16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что в четырехугольник, вершинами которого служат ортогональные проекции точки пересечения диагоналей на стороны, можно вписать окружность.

3.17. Четырехугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что точки касания вписанной окружности делят противоположные стороны четырехугольника в равных отношениях.

3.18. Четырехугольник вписан в окружность и описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, перпендикулярны.