Вопрос 19.

Деление многочлена на двучлен. Схема Горнера (с выводом), следствия.

Схема Горнера.

(Деление многочлена на двучлен)

Рассмотрим деление многочлена на двучлен .

Разделив с остатком, получим единственное представление: , где - многочлен степени , а остаток R – число. Пусть . Тогда, = .

Из двух форм записи многочлена следует равенство коэффициентов, т.е. , , , … , откуда получаем: , , , … , Такую цепочку для вычисления коэффициентов многочлена называют СХЕМОЙ ГОРНЕРА и записывают в виде таблицы:

Коэффициенты			…		…
Число с	=		…		…
Коэффициенты							Остаток R

Пример. Найти частное и остаток от деления многочлена на двучлен .

Коэффициенты	2	0	5	0	8	2
3	2	6	13	39	109	329
Коэффициенты

Следовательно, и

Разложение многочлена по степеням двучлена. (Следствие из схемы Горнера)

Для любого многочлена ( , ) и любого числа с, можно написать разложение по степеням двучлена :

Выпишем цепочку равенств, которая укажет алгоритм нахождения коэффициентов разложения:

, где ,

, где ,

, где ,

……….

, где ,

Алгоритм нахождения коэффициентов выглядит так:

Разделить с остатком на . Остаток будет свободным членом разложения.

Разделить неполное частное с остатком на . Новый остаток будет коэффициентом при первой степени . И т.д.

Проводить разложение многочлена по степеням двучлена удобно по схеме Горнера

Пример. Разложить многочлен по степеням двучлена

	3	5		0		8		2
2	3	11		22		52		106
	3	17		56		106
	3	23		102
	3	29
	3

В итоге получаем:

Вопрос 20. Корень многочлена. Теорема Безу (с доказательством), следствия. Делимость двучлена на двучлен .

Моё примечание: в вопросе, в той его части, которая мной выделена красным нет формул этих двух двучленов и , их вставил я, Т.к. насколько я знаю, говорить о делимости произвольного двучлена на произвольный двучлен в общем виде бессмысленно.

Число является корнем многочлена если =0.

Теорема Безу.

Теорема Безу. Если  произвольное число, то при делении многочлена на двучлен получается остаток равный значению многочлена от , т.е. = .

Для многочлена и двучлена существует единственное представление =  + . Найдём значение =  + = 0+ = . Что и требовалось доказать.

Остаток от деления многочлена на двучлен .

По теореме Безу остаток от деления многочлена = на двучлен равен = .

Теорема о корне. (Необходимое и достаточное условие того, что число а является корнем многочлена).

Теорема о корне (следствие теоремы Безу). Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на двучлен без остатка.

Для многочлена и двучлена существует единственное представление =  + .

Т.к. является корнем многочлена то =0, но =  + = = 0+ = . Следовательно, =0 и =  , т.е. делится на .

Обратно, если делится на , то =0 и =  = 0=0.

Некоторые частные случаи корней многочлена.

Число 0 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда его свободный член равен 0.

Действительно =0

Число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов равна 0.

Действительно =0

Число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов при четных степенях переменной равна сумме коэффициентов при нечетных степенях переменной ( считается коэффициентом при четной степени).

Действительно =0