Вопрос 18. Делимость многочленов, свойства делимости многочленов, метод неопределенных коэффициентов.

Если =  , то говорят, что многочлен делится (делится без остатка) на каждый из многочленов и .

Свойства делимости многочленов.

1. Если многочлен делится на многочлен , а многочлен делится на многочлен , то и многочлен делится на многочлен .

Действительно, если делится на многочлен , то =  , если делится на многочлен , то =  . Откуда следует, что =   . Т.к.  является многочленом, то обозначив =  , получаем =  . Т.е. делится на .

2. Если каждый из многочленов и делится на многочлен , то и многочлены  делятся на многочлен . Действительно, если делится на , то =  , если делится на , то =  . Откуда,  =    =(  ) =  , где =  .

Теорема о делимости многочленов.

Для любых многочленов и , где , существует единственная пара многочленов и таких, что выполняется равенство , причём либо степень многочлена меньше степени многочлена , либо .

Метод неопределённых коэффициентов:

Суть метода неопределённых коэффициентов сводится к следующему:

Если даны многочлены и , причём то по теореме о делимости многочленов существуют единственные и , причём , а такие, что =  + .

Выполнив умножение и вычитание многочленов в правой части, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной, учитывая, что и , получим систему, состоящую из уравнения с не более чем с неизвестным ( т.е. ).

Решив эту систему, найдём коэффициенты многочленов и .

Пример: , . Найти и такие, что . Заметим, что степень меньше степени , т.е не выше первой, а степень равна 42=2. Т.е. мы можем записать, что , где , а .

.

Раскрывая скобки в правой части и приводя подобные слагаемые, получаем:

. Используя определение равенства многочленов, получаем систему:

, откуда находим: ; ; ; и .

Следовательно, и .

Вопрос 19. Деление многочлена на двучлен. Схема Горнера (с выводом), следствия.

Схема Горнера.

(Деление многочлена на двучлен)

Рассмотрим деление многочлена на двучлен .

Разделив с остатком, получим единственное представление: , где - многочлен степени , а остаток R – число. Пусть . Тогда, .

Из двух форм записи многочлена следует равенство коэффициентов, т.е. , , , … , откуда получаем: , , , … , Такую цепочку для вычисления коэффициентов многочлена называют СХЕМОЙ ГОРНЕРА и записывают в виде таблицы:

Коэффициенты			…		…
Число с	=		…		…
Коэффициенты							Остаток R

Пример. Найти частное и остаток от деления многочлена на двучлен .

Коэффициенты	2	0	5	0	8	2
3	2	6	13	39	109	329
Коэффициенты

Следовательно, и

Разложение многочлена по степеням двучлена. (Следствие из схемы Горнера)

Для любого многочлена ( , ) и любого числа с, можно написать разложение по степеням двучлена :

Выпишем цепочку равенств, которая укажет алгоритм нахождения коэффициентов разложения:

, где ,

, где ,

, где ,

……….

, где ,

Алгоритм нахождения коэффициентов выглядит так:

Разделить с остатком на . Остаток будет свободным членом разложения.

Разделить неполное частное с остатком на . Новый остаток будет коэффициентом при первой степени . И т.д.

Проводить разложение многочлена по степеням двучлена удобно по схеме Горнера

Пример. Разложить многочлен по степеням двучлена

	3	5		0		8		2
2	3	11		22		52		110
	3	17		56		164
	3	23		102
	3	29
	3

В итоге получаем: