Вопрос 16.

Периодичность функций, основной период функции, график периодичной функции, теорема о периоде функции y=f(kx) (с доказательством).

Функция называется периодической, на множестве M, если существует такое число Т>0, называемое периодом, что для любого выполняются следующие свойства: 1) если , то и если , то ; 2) если , то и если , то .

Если Т – период функции, то и kТ, где , так же является периодом функции. Наименьший положительный период (если он существует) называется основным периодом функции.

График периодической функции состоит из одинаковых «кусочков», при этом значения функции на концах периода должны быть равны.

Примером периодической функции является функция  «дробная часть числа». Основной период этой функции равен 1.

Свойства периодических функций.

1. Если множество М, на котором задана функция неограниченно, то область определения содержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные и отрицательные числа. Действительно, kТ, где , является периодом функции, а значит x+ kТ принадлежит области определения функции. При этом kТ может быть сколь угодно большим по абсолютной величине положительным или отрицательным числом.

2. Если множество М, на котором задана функция неограниченно, то периодическая функция принимает каждое своё значение бесконечное количество раз.

3. Если для периодической функции с периодом Т на некотором отрезке выполняется неравенство ( ), где М – некоторая константа, то функция ограничена сверху (снизу). Действительно, т.к. длина отрезка равна периоду, то на этом отрезке функция принимает все свои значения.

Два числа Т₁ и Т₂ называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом.

4. Если функции и  периодические на множестве М, с основными периодами Т₁ и Т₂, являющимися соизмеримыми, то и функция  периодическая на множестве М.

Действительно, если Т₁ и Т₂, соизмеримы, то учитывая, что они положительные имеем , где m и n – натуральные. Отсюда Пусть Т= . Тогда = = .

Теорема. Если число T - основной период , то число – основной период для , где . Доказательство. Пусть Т - основной период , тогда: 1. Если , то и и , причём, одно из этих значений (в зависимости от знака k, равно , а другое равно . Т.е. и .

2. , а значит, . Т.е. – период функции при этом , где тоже период . В частности, при , периодом будет .

Если , то – положительный период функции , а если , то – положительный период функции . Таким образом, – положительный период функции .

Докажем, что – основной период для , т.е. наименьший положительный.

Предположим, что существует Т₁, такой что и , тогда , а это значит, что - период функции , но, т.к. , то , а это противоречит тому, что Т – основной (т.е. наименьший положительный) период

Вопрос 17. Понятие многочлена от одной переменной, степень многочлена, нулевой многочлен, равенство многочленов, действия с многочленами.

Многочленом (полиномом) n-ой степени от одной переменной x называется выражение, которое можно записать в виде , где a_n, a_n-1, …, a₁ и a₀ – некоторые числа, причём a_n0. Число n называют степенью многочлена, а данную запись – стандартным ( или каноническим) видом многочлена. Слагаемое называют старшим членом многочлена, а слагаемое – его свободным членом.

Многочлены принято обозначать так: , и т.д., или , , если хотят подчеркнуть, что степень многочлена равна n.

.

Многочлен , где a₀0, называют многочленом нулевой степени. Многочлен называют нулевым многочленом.

Два многочлена и называются равными, если у них одинаковые степени и соответствующие коэффициенты равны (т.е. ).

Значением многочлена в точке c (при x=c), называют число .

Действия над многочленами.

1. Суммой многочленов и называется многочлен , где и , а , при этом, если , то , а если , то .

2. Разностью многочленов и называется многочлен , где не превосходит большего из и , а , при этом, если , то , а если , то .

Таким образом, степень суммы (разности) двух многочленов, не может превосходить наибольшую из степеней слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого).

3. Произведением многочленов и называется многочлен , получающийся после умножения каждого слагаемого одного многочлена на каждое слагаемое другого многочлена и приведения подобных слагаемых. =  . Степень произведения ненулевых многочленов равна сумме степеней множителей.

Свойства действий над многочленами.