Вопрос 13. Сложная функция. Теорема о монотонности сложной функции (с доказательством).
Пусть
функция
определена на множестве X
и U
– область её значений. Пусть функция
определена на множестве U и Y – область
её значений. Поставив в соответствие
каждому числу
,
число
(т.к.
),
получим соответствие между множествами
X и Y, являющееся функцией. Функция
называется сложной функцией. Таким
образом, сложная функция, это функция,
которая зависит от независимого
аргумента,
не напрямую, а через аргумент, который
сам является функцией (т.е. зависимым
аргументом).
Примеры
сложных функций: 1).
здесь,
,
а
;
2)
здесь,
,
а
.
Теорема о монотонности сложной функции.
Пусть функция определена на множестве X и U – область её значений. Пусть функция определена на множестве U и Y – область её значений. Если обе функции и являются возрастающими, то и сложная функция является возрастающей.
Доказательство:
Т.к.
- возрастающая, то по определению
.
Т.к.
- возрастающая, то по определению
.
Таким
образом
.
Т.е. функция является возрастающей.
Вопрос 14. Четные и нечетные функции, свойства (доказательство одного из них).
Функция
называется чётной,
если выполняются два условия:
1)
Область определения функции симметрична
относительно 0 т.е.
.
2)
Для любого значения x
из области определения (
)
выполняется равенство
.
Функция называется нечётной, если выполняются два условия: 1) Область определения функции симметрична относительно 0 т.е. .
2)
Для любого значения x
из области определения (
)
выполняется равенство
.
Свойства чётных и нечётных функций.
1.
График чётной функции симметричен
относительно оси ординат (пример –
парабола
).
Действительно если точка
принадлежит графику функции, то и точка
,
симметричная ей относительно оси ординат
так же принадлежит графику функции.
2.
График нечётной функции симметричен
относительно начала координат (пример
– кубическая парабола
).
Действительно, если точка
принадлежит графику функции, то и точка
,
симметричная ей относительно начала
координат так же принадлежит графику
функции.
3.
Если функции
и
чётные, определённые на одном и том же
множестве, то функции
,
и
(
)
являются чётными, определёнными на том
же множестве. Действительно,
=
;
=
и
=
(
).
4.
Если функции
и
нечётные, определённые на одном и том
же множестве, то функции
являются нечётными, определёнными на
том же множестве, а функции
и
(
)
являются чётными, определёнными на том
же множестве. Действительно,
=
;
=
;
=
=
;
=
=
(
).
5.
Если функция
чётная, а
нечётная, определённые на одном и том
же множестве, то функции
,
(
)
и
(
)
являются нечётными, определёнными на
том же множестве. Действительно,
=
=
;
=
=
(
);
=
=
(
).
Вопрос 15. Ограниченность функций, наибольшее и наименьшее значение функций, экстремумы функций.
Пусть функция определена на множестве X и Y – область её значений.
Функция
будет называться ограниченной
сверху,
если существует такое число М, что
,
выполняется условие
(другое определение
верно, что
)
Функция
будет называться ограниченной
снизу,
если существует такое число М, что
,
выполняется условие
(другое определение
верно, что
).
Функция
будет называться ограниченной,
если она ограничена и сверху и снизу,
т.е. существует такое число М, что
,
выполняется условие
(другое определение
верно, что
)
Если
для
выполняется условие, что
верно
,
то
называется наибольшим
значением функции (другое определение
верно, что
).
Если
для
выполняется условие, что
верно
,
то
называется наименьшим
значением функции (другое определение
верно, что
).
Примечание наибольшее и наименьшее значения функция может принимать в нескольких точках, в том числе и в бесконечном количестве точек.
Точка
называется точкой экстремума, если
существует такое положительное число
,
что
выполняется одно из условии
или
.
В первом случае точка называется точкой минимума, а во втором – точкой максимума.
Соответственно, экстремумом функции будет называться значение функции в точке экстремума, т.е. . Причем значение в точке минимума будет называться минимумом (локальным минимумом) функции, а значение в точке максимума будет называться максимумом (локальным максимумом) функции.
Т
аким
образом, точки экстремума – точки,
лежащие внутри области определения, в
которых функция принимает самое большое
(максимум) или самое малое (минимум)
значение по сравнению со значениями в
близких точках.
Геометрически – около точек экстремума график функции выгибается, как горб, направленный вверх или вниз (см. рисунок), а сам экстремум – это значение функции в «вершине» этого горба.