Вопрос 5. Дополнение, пересечение, объединение, разность, симметрическая разность множеств. Диаграммы Эйлера-Венна.
Объединением
множеств A и B называется множество
элементов, принадлежащих, по крайней
мере, одному из данных множеств (т. е.
либо A, либо B, либо одновременно
и A и B). Обозначают
и читают "объединение A и B".
.
Пересечением
множеств A и B называется множество
элементов, принадлежащих одновременно
и A и B. Обозначают
и
читают "пересечение A и B".
.
Разностью
множеств A и B называется
множество элементов, принадлежащих A
и не принадлежащих B. Обозначают A\B
и читают "разность A и B".
.
Симметрической
разностью множеств A и B
называется множество элементов,
принадлежащих A и не принадлежащих
B, объединенное с множеством
элементов, принадлежащих B и не
принадлежащих А. Обозначают A
B.
.
Дополнением
множества A называется множество
элементов универсального множества,
не принадлежащих множеству A.
Обозначают
и читают "дополнение A".
.
Пример 1. Пусть A есть отрезок [1, 3], B - отрезок [2, 4]; тогда объединением будет отрезок [1, 4], пересечением отрезок [2, 3], разностью A\B полуинтервал [1, 2), а разностью B\A полуинтервал (3, 4].
Круги Эйлера — принятый в логике способ наглядного изображения отношений между множествами, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером (1707–1783).
Условно принято, что круг наглядно изображает одно какое-нибудь множество. Поэтому каждый элемент множества можно изобразить посредством точки, помещенной внутри круга.
Операции над множествами наглядно иллюстрируются с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
|
|
|
|
A\B |
|
|
|
|
|
|
|
Вопрос 6.
Основные формулы алгебры множеств (коммутативность, ассоциативность пересечения и объединения множеств (доказательство одного из них); законы поглощения для множеств (доказательство одного из них)).
Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения:
Коммутативность
а)
объединения:
б)
пересечения:
.
Ассоциативность
а)
объединения:
б)
пересечения:
.
Чтобы доказать равенство двух множеств А и В, надо убедиться, что каждый элемент множества А содержится в множестве В, и наоборот.
Докажем ассоциативность объединения.
1.
Пусть х
–
любой элемент множества
.
Тогда,
по определению объединения,
или
.
Если
,
то по определению объединения
,
а значит, по определению объединения
.
В
том случае, если
,
то так же по определению объединения
или
или
.
Если , то по определению объединения , а значит, по определению объединения .
Если , то по определению объединения .
Случай, когда и , сводится к рассмотренным выше.
Итак,
мы показали, что каждый элемент множества
содержится в множестве
.
2. Докажем, что каждый элемент множества содержится в множестве .
Пусть
х
–
любой элемент множества
.
Тогда,
по определению объединения,
или
Если , то по определению объединения или или .
Если
,
то по определению объединения
.
Если , то по определению объединения , а значит, по определению объединения .
Если , то по определению объединения , а значит, по определению объединения .
Случай, когда и , сводится к рассмотренным выше.
Итак,
мы показали, что каждый элемент множества
содержится в множестве
.
Законы поглощения
а) б) .
Докажем что
1.
Пусть х
–
любой элемент множества
.
Тогда,
по определению объединения,
или
,
т.е.
.
2.
Пусть х
–
любой элемент множества А.
Тогда,
по определению объединения,
.
Вопрос 7.
Дистрибутивность объединения относительно пересечения множеств, дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств (доказательство одного из них); законы де Моргана для множеств (доказательство одного из них).
Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения:
Дистрибутивность: а) дистрибутивность объединения относительно пересечения:
Для доказательства равенства, докажем, что если x принадлежит множеству записанному в левой части равенства, то он принадлежит множеству стоящему в правой части равенства, и наоборот.
Доказательство:
1.
Если
,
то, по определению объединения, или
,
или
.
Если
,
то, по определению объединения,
и
,
т.е., по определению пересечения,
.
Если
,
то, по определению пересечения,
и
,
значит, по определению объединения,
и
,
т.е., по определению пересечения
.
Значит, если , то .
2.
Если
,
то, по определению пересечения,
и
.
Тогда, по определению объединения, или
а)
,
или б)
и
,
или в)
и
,
или г)
и
.
Т.к. в пунктах б) и в) содержится , то достаточно рассмотреть пункты а) и г).
Если , то .
Если
и
,
то
,
а значит
.
Значит, если , то .
б) дистрибутивность пересечения относительно объединения: .
Законы
де Моргана
а)
б)
.
Докажем
1.
Пусть
,
тогда, по определению дополнения,
,
тогда по определению объединения,
,
и
,
тогда, по определению дополнения
и
,
значит, по определению пересечения,
.
2. Пусть , тогда, по определению пересечения, и , тогда по определению дополнения, , или , тогда, по определению объединения , значит, по определению дополнения, .