Вопрос 4. Множество, элементы множества, пустое и универсальное множество, конечное и бесконечное множества, способы задания множества.

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A; или a принадлежит A, или A содержит a). Если a не является элементом множества A, то пишут (a не входит в A, A не содержит a). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a, b, c} обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае множеств, содержащих бесконечное количество элементов, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором – только четные. Множества, состоящие из конечного количества элементов, называются конечными, в противном случае – бесконечными.

Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи: {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Множество, не содержащее ни одного элемента называют "пустое множество". Его обозначают .

Если каждый элемент множества A входит во множество B, то A называется подмножеством B. Записывают так: Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a}, содержащее a в качестве единственного элемента. Запись означает, что a – элемент множества A, а запись означает, что a – множество, каждый элемент которого является элементом множества A.

Множество, элементами которого являются только числа, называется числовым множеством.

За некоторыми числовыми множествами закреплены стандартные обозначения. Например N –- множество натуральных чисел, Z –- множество целых чисел, Q –- множество рациональных чисел, R –- множество действительных чисел.

Когда все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого основного множества, это основное множество называют универсальным множеством, и обозначают U. Например, любое числовое множество, составленное из известные нам на сегодняшний день чисел являются подмножествами множества действительных чисел.

Множества можно задавать разными способами: перечислением (например, {a, b, c} , формулой (например, ), описанием (например, «все красные автомобили, стоявшие на перехватывающей парковке у метро «Беляево» 22 июня 2012 года»), графически, и т.д.