Вопрос 2. Формулы алгебры высказываний: коммутативность, ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции (доказательство одной из них); законы поглощения для высказываний (доказательство одной из них).
Равносильные высказывания. Два высказывания равны (равносильны), если у них совпадают таблицы истинности
Формулы алгебры высказываний.
Коммутативность:
а)
конъюнкции
б)
дизъюнкции
Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
A |
B |
А В |
В А |
А В |
В А |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из совпадения 3 и 4 столбцов следует справедливость равенства , а из совпадения 5 и 6 столбцов следует справедливость равенства
Ассоциативность:
а)
конъюнкции
б)
дизъюнкции
Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
A |
B |
С |
А В |
(А В) С |
В С |
А (В С) |
А В |
(А В) С |
В С |
А (В С) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из совпадения 5 и 7 столбцов следует справедливость равенства , а из совпадения 9 и 11 столбцов следует справедливость равенства
Законы поглощения
а)
конъюнкции
б)
дизъюнкции
Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
A |
B |
А В |
А (А В) |
А В |
А (А В) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из совпадения 4 и 1 столбцов следует справедливость равенства , а из совпадения 6 и 1 столбцов следует справедливость равенства
Вопрос 3.
Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции, дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции (доказательство одной из них). Законы де Моргана для высказываний (доказательство одного из них).
Равносильные высказывания. два высказывания равны, если у них совпадают таблицы истинности
Формулы алгебры высказываний.
а)
Дистрибутивность конъюнкции относительно
дизъюнкции
Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
A |
B |
С |
В С |
А (В С) |
А В |
А С |
(А В) (А С) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из совпадения 5 и 8 столбцов следует справедливость данного равенства.
б)
Дистрибутивность дизъюнкции относительно
конъюнкции
Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
A |
B |
С |
В С |
А (В С) |
А В |
А С |
(А В) (А С) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из совпадения 5 и 8 столбцов следует справедливость данного равенства.
Законы де Моргана
а)
б)
Для доказательства составим таблицы истинности для этих высказываний.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
A |
B |
А |
В |
А В |
(А В) |
(А) (В) |
А В |
(А В) |
(А) (В) |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Из совпадения 6 и 7 столбцов следует справедливость равенства , а из совпадения 9 и 10 столбцов следует справедливость равенства