Знаки тригонометрических функций по четвертям.
Т.к. абсцисса точки положительна, когда точка лежит в I и IV координатных четвертях, и отрицательна, когда точка лежит во II и III координатных четвертях, а ордината точки положительна, когда точка лежит в I и II координатных четвертях, и отрицательна, когда точка лежит в III и IV координатных четвертях, то: синус положителен в I и II координатных четвертях, и отрицателен в III и IV координатных четвертях,
косинус положителен в I и IV координатных четвертях, и отрицателен во II и III координатных четвертях,
тангенс и котангенс положительны в I и III координатных четвертях, и отрицательны во II и IV координатных четвертях
Основное тригонометрическое тождество.
Т.к.
точка P лежит на окружности уравнение
которой
,
то её координаты (
;
)
обращают уравнение в истинное равенство.
Следовательно,
Данное тождество называется основным тригонометрическим тождеством.
Из
него выводятся следующие следствия:
и
и
.
Из
определения тангенса и котангенса
следует, что:
и
(
и
).
и
;
и
Вопрос 24. Формулы сложения (с выводом), , , .
З
ададим
на плоскости Декартову систему координат
и
тригонометрическую окружность. Пусть
и
- произвольные положительные углы.
Проведём радиус-векторы ОР
и ОР
такие, что они образуют с положительным
направлением оси абсцисс углы
и
соответственно. В системе координат
точки Р
и Р
имеют координаты Р(
;
)
и Р(
;
).
Длина
отрезка РР
равна
.
Или
(РР)2
=
=
=
=
=
.
Введём
новую систему координат
,
в которой ось Оx1
сонаправлена с радиус-вектором ОР.
В этой системе координат точка Р
имеет координаты (1;0), а Р
имеет координаты
,
длина отрезка РР
равна
.
Или (РР)2=
=
.
Приравнивая два выражения квадрата длины отрезка РР, получаем:
,
откуда
.
Подставляя
в эту формулу
вместо
и учитывая чётность функции косинус и
нечётность функции синус, получаем:
Учитывая,
что,
,
из
полученных формулы получаем:
=
Т.е.
.
Подставляя
в эту формулу
вместо
и учитывая чётность функции косинус и
нечётность функции синус, получаем:
.
разделим
каждый член числителя и знаменателя на
и получим
.
Аналогично,
.
Заменив,
в полученных формулах
на
,
и учитывая нечетность функций тангенс
и котангенс, получим:
.
Вопрос 25. Формулы приведения, двойных углов (с выводом).
Формулы приведения.
Формулы
позволяющие заменить выражение вида
,
где
,
а
на
,
где
называются формулами приведения.
Из
курса геометрии известно, что
,
,
,
.
Т.к.
тангенс и котангенс имеют период
,
то
и
Используя
формулы
,
,
и
,
получаем:
.
.
Формулы двойного угла.
Подставляя
вместо
в формулы
,
,
,
,
и
получаем формулы двойного угла:
Учитывая,
что
и
,
получаем ещё два выражения для косинуса
двойного угла:
и
.
Вопрос 26.
Формулы понижения степени, половинных углов, универсальная подстановка (с выводом).
Используя
формулы для
косинуса двойного угла:
и
,
делая замену
получим формулы понижения степени:
Универсальной подстановкой называется выражение тригонометрической функции через тангенс половинного угла.
; 
; 
; 
.
Докажем их.
Примечание.
Формулы верны, если
.
Пример:
Найти
и
,
если
