4.4. Перпендикулярность плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей:

Плоскость перпендикулярна другой, если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости.

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости.

Итак, зная, как располагаются проекции прямой, перпендикулярной плоскости, легко строить взаимно-перпендикулярные плоскости. Исходя из признака перпендикулярности плоскостей можно:

1. построить перпендикуляр к заданной плоскости и через него провести искомую плоскость

или

2. в заданной плоскости взять прямую и перпендикулярно ей провести искомую плоскость.

В любом из этих случаев задача будет иметь бесчисленное множество решений, если на искомую плоскость не наложены дополнительные условия.

Рассмотрим два примера построения перпендикулярных плоскостей.

Пример: Через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости .

Вариант 1:

Рис. 4.10

Новая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых отвечает условию перпендикулярности плоскостей (прямая l), в зависимости от выбора второй прямой, искомая плоскость может занимать различное положение в пространстве. В данном случае прямая p – профильно-проецирующая, следовательно, сама плоскость является профильно-проецирующей плоскостью.

Вариант 2:

Рис. 4.11

4.5. Перпендикулярность прямых общего положения

Признак перпендикулярности прямых:

Прямые взаимно перпендикулярны, если через одну из них можно провести плоскость, перпендикулярную второй прямой.

Возьмем прямую общего положения l и точку А, не лежащую на ней. Для того чтобы провести перпендикуляр из точки к прямой, необходимо, следуя признаку перпендикулярности, через точку А провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой, задав ее горизонталью и фронталью. Любая прямая, лежащая в этой плоскости, будет перпендикулярна прямой l. Например, прямые l и m – перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Рис. 4.12

Если требуется построить пересекающиеся перпендикулярные прямые, то сначала необходимо найти точку пересечения прямой l и перпендикулярной к ней плоскости ⁶ .

Пример: Опустить перпендикуляр из точки А на прямую l.

Рис. 4.13

Лекция 6

5. Преобразование изображений. Четыре основные задачи начертательной геометрии

Для упрощения решения метрических, а также некоторых позиционных задач могут применяться методы, позволяющие переходить от задания фигур общих положений к частным. Эти методы основываются на двух принципах:

1. замещение системы плоскостей проекций на новую систему плоскостей, в которой неподвижный геометрический объект занимает какое-либо частное положение (способ замены плоскостей проекций);

2. перемещение геометрического объекта в пространстве таким образом, чтобы он занял какое-либо частное положение в неподвижной системе плоскостей проекций (способ вращения).

В зависимости от расположения оси в пространстве, вокруг которой вращается геометрический объект, различают следующие виды способа вращения:

1. вращение вокруг линии уровня;

2. вращение вокруг проецирующей прямой;

3. плоско-параллельное перемещение.

Эти способы преобразования включают в себя четыре основные задачи начертательной геометрии:

1. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы прямая общего положения стала линией уровня.

2. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы линия уровня стала проецирующей прямой.

3. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью уровня.

4. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.