1. Дәрістердің қысқаша конспектісі

1-тақырып. Комплекс сандар

Негізгі сұрақтар мен дәрістің қысқаша мазмұны

1. Комплекс санның анықтамасы. Комплекс сандарға алгебралық амалдар қолдану. Комплекс сандар өрiсi.

2. Комплекс жазықтығы комплекс сандар жиынын геометриялық бейнелеу ретінде.

3. Комплекс санның модулi мен аргументi; комплекс санды тригонометриялық түрде жазу.

4. Комплекс сандар жиынның  символымен толықтау. (Риман сферасына) стереографикалық проекция кеңейтiлген комплекс сандар жиынын геометриялық бейнелеу ретінде, оның қасиеттерi.

Кез келген комплекс санды түрінде жазуға болатындығы алгебра курсынан белгілі, мұндағы және – кез келген нақты сандар, ал -жорамал бірлік. .

саны комплекс санның нақты бөлігі деп аталып арқылы белгіленеді, жорамал бөлігі деп аталып – арқылы белгіленеді.

және комплекс сандары тең деп аталады сол жағдайда, тек қана сол жағдайда егер болса.

және комплекс сандарының қосындысы деп комплекс санын атайды.

және комплекс сандарының көбейтіндісі деп комплекс санын атайды.

Сонымен, комплекс сандарын қосу мен көбейту, символна қатысты көпмүшеліктерге амалдар қолданғандағыдай.

саны санына түйіндес сан деп аталады.

Комплекс сандарды қосу мен көбейту амалдары коммутативтік, ассоциативтік және дистрибутивтік заңдарға бағынатынына көз жеткізу қиын емес, яғни

, болсын. шамасы комплекс санның модулі деп аталып, символымен белгіленеді. теңдіктерін қанағаттандыратын кез келген саны, комплекс санның аргументі деп аталып, символымен белгіленеді. шамасы тек қана нөлден өзге комплекс сандар үшін анықталады. -тің кез келген екі мәнінің айрымы -ге еселі болады.

Кез кеген комплекс санын тригонометриялық түрде өрнектеуге болады, мұндағы .

- комплекс санның көрсеткіштік түрде жазылуы.

Кез келген натурал үшін дәрежесі Муавр формуласы арқылы өрнектеледі.

комплекс санның ші дәрежелі түбірі, әртүрлі мәнге ие болады. Олар келесі формула арқылы анықталады:

Көп жағдайда комплекс санды жазықтықтағы нүктелер бейнелеген ыңғайлы (немесе векторлармен). Әрбір , , , комплекс саннына абсцисасы және ординатасы

болатын нүктесі немесе ОМ векторы сәйкес келтіріледі. Векторларды қосу сәйкес комплекс сандарды қосуды білдірелі.

Комплекс сандар бейнеленген жазықтық комплекс жазықтық деп, Х– осі нақты ось, ал У –жорамал ось деп аталады.

Ақырлы комплекс жазықтық С арқылы белгіленеді.

нүктесімен толықтырылған комплекс жазықтық, кеңейтілген комплекс жазықтық деп , ал ол проекцияланатын сфера –Риман сферасы деп аталады.

Кеңейтілген комплекс жазықтық символымен белгіленеді.

Өзіндік бақылау жасау үшін сұрақтар

1. Комплекс санның анықтамасы. Комплекс сандарға алгебралық амалдар қолдану.

2. Комплекс сандарды геометриялық бейнелеу.

3. Комплекс санның модулi мен аргументi қалай анықталады?

4. Комплекс санның тригонометриялық түрiде жазылуы қалай?

5. Кеңейтілген комплекс жазықтық қалай анықталады?

5. Стереографикалық проекция қалай анықталады? (Риман сферасына)

6. Муавр формуласын жазыңыз.

2-тақырып. Комплекс айнымалының функциясы

Негізгі сұрақтар мен дәрістің қысқаша мазмұны

1. С және маңайлары. С және топология. С және ойылған маңайлар.

2. С және жиындардың ішкі, шектік, шекаралық және сыртқы нүктелері, ашық және тұйық жиындар (С және ). С мағынасында С-да жататын шенелген жиындар. мағынасында -да жататын жиынның шенелуі. С-дағы және -дағы облыстар. Байланыстық және сызықтық байланыстық.

3. С-дағы (және -дағы) тізбектер. Олардың жинақталуы. С-дағы тізбектің жинақталуы мен екі нақты мәнді тізбектердің жинақталуымен байланысы.

4. С-дағы (және -дағы) тізбектер үшін Больцано-Вейерштрасс теоремасы. [2, 16-17 бет].

5. Функцияның анықтамасы. Өзара бірмәнді сәйкестік (бірбеттік функциялар). Комплекс айнымалы комплекс мәнді функцияның берілуі екі нықты айнымалы нақты мәнді функциялардың берілуімен мәндестігі.

6. Функцияның геометриялық бейнелеулерінің тәсілдері (функцияның графигі R²*R²=R⁴ жататын жиын болады).

7. Комплекс айнымалы комплекс мәнді функцияның шегі, үзіліссіздігі.

8. 1-ші және 2-ші Вейерштрасс теоремалары.

9. Бірқалыпты үзіліссіздік туралы Кантор теоремасы.