Несобственные интегралы.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].
Определение:
Если существует конечный предел
,
то этот предел называется несобственным
интегралом от функции f(x)
на интервале [a, ).
Обозначение:
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Пример.
-
не существует.
Несобственный интеграл расходится.
Пример.
- интеграл сходится
Теорема: Если
для всех х (x
a) выполняется условие
и интеграл
сходится, то
тоже сходится и
.
Теорема: Если
для всех х (x
a) выполняется условие
и интеграл
расходится, то
тоже расходится.
Теорема: Если
сходится, то сходится и интеграл
.
В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.
Интеграл от разрывной функции.
Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то
Если интеграл
существует, то интеграл
- сходится, если интеграл
не существует, то
- расходится.
Если в точке х = а
функция терпит разрыв, то
.
Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то
Таких точек внутри отрезка может быть несколько.
Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
у
+ +
0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения
суммарной площади используется формула
.
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
(ед2)
Нахождение площади криволинейного сектора.
= f()
О
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид = f(), где - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.
Подробнее о полярной системе координат и ее связи с декартовой прямоугольной системой координат см. Полярная система координат. “Курс высшей математики. Часть 1.”
Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
