Содержание КВМ Часть 2.
mailto: aalar@yandex.ru
К У Р С
В Ы С Ш Е Й
М А Т Е М А Т И К И
Краткий конспект лекций
Часть 2
Содержание:
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой.
Односторонние производные функции в точке.
Основные правила дифференцирования.
Производные основных функций.
Производная сложной функции.
Логарифмическое дифференцирование.
Производная показательно – степенной функции.
Производная обратной функции.
Дифференциал функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Свойства дифференциала.
Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.
Формула Тейлора.
Формула Лагранжа.
Формула Маклорена.
Представление функций по формуле Тейлора.
Бином Ньютона.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Теоремы о среднем.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.
Теорема Коши.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Производная и дифференциалы высших порядков.
Правила нахождения производных.
Исследование функций.
Возрастание и убывание функций.
Точки экстремума.
Критические точки.
Достаточные условия экстремума.
Исследование функций с помощью производных высших порядков.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Асимптоты.
Схема исследования функций.
Уравнение касательной к кривой.
Параметрическое задание функции.
Производная функции, заданной параметрически.
Кривизна плоской кривой.
Угол смежности.
Средняя кривизна.
Кривизна дуги в точке.
Радиус кривизны.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
у
f(x)
f(x0 +x) P
f
f(x0) M
x
0 x0 x0 + x x
Пусть
f(x)
определена на некотором промежутке (a,
b).
Тогда
тангенс угла наклона секущей МР к графику
функции.
,
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение
касательной к кривой:
Уравнение
нормали к кривой:
.
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Односторонние производные функции в точке.
Определение.
Правой (левой) производной функции f(x)
в точке х = х0
называется правое (левое) значение
предела отношения
при условии, что это отношение существует.
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u v) = u v
2) (uv) = uv + uv
3)
,
если v
0
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.
1)С
= 0; 9)
2)(xm)
= mxm-1;
10)
3)
11)
4)
12)
5)
13)
6)
14)
7)
15)
8)
16)
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.
Тогда
