Конечно-разностный метод решения прямой задачи

Решаем прямую задачу конечно-разностным методом. Пусть , где l – глубина, N – число разбиений. Заменим производные конечно-разностными аналогами:

Схему (3) упростим, сокращая и группируя подобные слагаемые:

На правой стороне зададим краевые условия

Случай точечного источника

Рассмотрим метод решения прямой и обратной задачи в случае точечного источника g(t)=δ(t), где δ(t) – дельта-функция Дирака.

Основное свойство дельта-функции Дирака:

- для любой бесконечно-дифференцируемой финитной функции φ(t).

В этом случае точечного источника постановка задачи следующая:

Прямая задача (1’): найти функцию по известной функции .

Обратная задача (1’), (2’): определить коэффициент по известным данным о решении прямой задачи .

Условие означает, что до момента времени среда находилась в покое.

Структура решения прямой задачи (1’)

Известно, что если g(t)=δ(t), то структура решения прямой задачи (1’)

следующая:

,

где - достаточно гладкая функция и

- тэта функция Хевисайда:

.

Тогда обратная задача (1’), (2’) сводится к следующей задаче:

Здесь .

Требуется найти функцию по известным данным .

Решение обратной задачи (1), (2) находится из соотношения .

Условия согласования: .

Связь между различными уравнениями

Рассмотрим уравнение:

.

Здесь - скорость распространения волн, - плотность среды, - давление.

Сделаем замену переменной (travel-time)

и введем новые функции

, , .

Тогда от уравнения (i) можно перейти к следующему уравнению относительно акустической жесткости среды :

.

Если ввести новые функции

,

Тогда от уравнения (ii) можно перейти к уравнению

.

Решение прямой задачи (7)-(9)

Решаем прямую задачу (7)-(9) конечно-разностным методом.

Заменяем производные конечно-разностными аналогами:

С хему (11) упростим, сокращая и группируя подобные слагаемые:

.

Из (13) находим

.

Алгоритм решения прямой задачи:

1. Находим , при ;

2. По формуле (15) определяем ;

3. Из схемы (14) находим ;

4. И з (15) находим ;

5. По формуле (14) определяем ;

6. По формуле (14) определяем ;

7. Из (15) находим ;

и т.д.

Метод обращения разностной схемы

Основная идея метода обращения разностной схемы – замена обратной задачи конечно-разностным аналогом и дальнейшее решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений достаточно простым способом.

Для численного решения записываем

конечно-разностную апроксимацию обратной задачи (7):

и упрощаем (8)

.

Для нахождения неизвестного коэффициента на слое полагаем в (20) и получаем уравнение для . Откуда находим из соотношения

.

А лгоритм метода обращения разностной схемы:

1. Определяем , при ;

2. Находим ;

3. Определяем u на первом вертикальном слое при ;

4. Находим ;

5. По формуле (21) определяем ;

6. По формуле (20) находим , при ;

7. По формуле (21) определяем ;

8. По формуле (20) находим , при ;

и т.д.