§1. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.

Интерполяция

Приближение функции, известной на конечном множестве точек М, некоторой функцией (сплайном, многочленом Лагранжа и т.п.), значения которой совпадают со значениями данной функции на М.

Постановка задачи. Функция у = f(x) задана в табличном виде

X	x0	x1	x2	x3	…	xn
f(x)	f(x0)	f(x1)	f(x2)	f(x3)	…	f(xn)

в точках ,

Найти приближенное значение функции у = f(x) в промежуточных точках

Решение. Если аналитический вид функции у = f(x) неизвестен, то значения функции вычисляются приближенно. Приближенные методы вычисления называется интерполированием функции. Наиболее точным и простым методом интерполирования функции является интерполирование функции сплайном.

1.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция).

Точки и соединяются прямыми линиями, т.е. получаем ломаную линию А0, А1, А2, …, Аn (рис.1.1).Используя уравнение прямой, проходящей через точки Аi (xi, уi), Ai+1 (xi+1 ,уi+1) получим

у А1 А3 А2 А0 Аn a=х0 х1 0 х2 х3 хn=b х Рис.1.1.

(1.1)

где y_i = f(x_i), x_i = a + ih, a = x₀. Из (1.1) получим

(1.2)

В (1.2) функция у зависит от i и х. Поэтому запишем в следующем виде

S(x)= (1.3)

Функция (1.3) называется сплайном 1-го порядка.

Лабораторная работа №1. Задать самостоятельно функцию у = f(x). Составить таблицу функции у = f(x) на отрезке [а;в] в узлах х_i =a+ih. Вычислить промежуточные точные значения .

Вычислить погрешность .

Найти среднюю арифметическую величину (мат.ожидание)

и среднеквадратическое отклонение

.

1.2.Сплайн 2-го порядка s(X).

На каждом из отрезков (x_i, x_i+1 ) функция у = f(x) приближается параболой

S(x) =

В узлах х = х_i ставятся следующие условия

1. 

2. - непрерывность функции S (x) в узлах

x_i , i = 1, 2, …, n-1.

3. - непрерывность первой производной функции

S (x) в узлах x_i , i = 1, 2, …, n-1.

Используя 1) - 3) определяем а_i, b_i, с_i.

1. Из условия следует, что

.

Сюда можно дописать дополнительный коэффициент .

2. Из условия 2) и 3) получаем систему