3. Симплексный метод

Данный метод состоит в целенаправленном переборе опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов расчета либо найти оптимальное решение, либо установить его отсутствие.

Для реализации симплексного метода необходимо:

– последовательного улучшения решения

– необходимо освоить три основных элемента:

• способ определения какого – либо первоначального допустимого базисного решения задачи;

• правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;

• критерий проверки оптимальности найденного решения.

Задание 3: Решить задачу симплексным методом.

Z(x)=x₁-x₂+x₃ → max

При ограничениях:

4x₁+2x₂+x₃ ≥ 6

-x₁+x₂+x₃ = 1

x₁-x₂+4x₃ ≤ 24

Учитывая условия неотрицательности:

x_j ≥ 0 , j=1,2,3

Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на две группы – основные и свободные. В качестве основных переменных на первом шаге следует выбирать такие m переменные, каждая из которых входит только в одно из m уравнений системы, в которые не входит не одна из этих переменных. Свободные переменные удовлетворяют этому правилу.

I шаг: Основные переменные: х₂, х₄, х₅

Свободные переменные: х₁, х₃

С помощью дополнительных неотрицательных переменных перейдём к системе уравнений:

x₂=1+x₁-x₃

x₄=-4+6x₁-3x₃

x₅=25+3x₃

Получим первое базисное решение, которое является недопустимым т.к. присутствует отрицательный компонент

x₁=(0,1,0,-4,25) – недопустимое базисное решение.

x₃=min{1,∞,25/3}=1

II Шаг.

Основные переменные: х₁, х₂, х₅

Свободные переменные: х₃, х₄

Выразим новые основные переменные через неосновные:

x₁=2/3+х₃/2+х₄/6

x₂=5/3+x₃/2+x₄/6

x₅=25+x₃

Получим второе базисное решение, которое является допустимым т.к. отрицательных компонентов нет.

x₂=(2/3,5/3, ,0,0,25) – допустимое базисное решение.

Выражаем линейную функцию через неосновные переменные:

Z(x)=2/3+x₃/2+x₄/6-5/3-x₃/2-x₄/6+25+x₃=24+x3=24.

Так как в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.

Глава 2. Математические методы в системе образования

2.1. Изучение многокомпонентной модели обучения

Допустим имеется n учеников, каждый из которых характеризуется набором параметров α_{i ,}β_{i ,} γ_i ,…( i= 1, 2,…,n), и m учителей, владеющих методами М₁, М₂, М₃, и т.д. Основная задача дидактики состоит в том, чтобы так организовать учебный процесс, то есть выбрать методы и распределить изучаемый материал в течение заданного промежутка времени, чтобы в конце обучения учащиеся справились с системой тестов Т={Т₁,Т₂,...}. Сформулируем закон дидактики: скорость увеличения знаний Z пропорциональна прилагаемым усилиям F(t), эффективности методики обучения η, коэффициентами усвоения α и понимания П: dZ/dt=αПηF(t). Будем считать, что прилагаемые усилия F пропорциональны разности между уровнем требований U учителя и знаниями Z учащихся: F=a(U-Z). Усвоение и запоминание сообщаемой информации предполагает установление логических и ассоциативных связей между новыми и имеющимися знаниями. В результате приобретенные знания становятся более прочными и забываются значительно медленнее. Предполагаемая многокомпонентная модель обучения выражается следующей системой уравнений:

dZ₁/dt= ka₁(U-Z)Z^b-ka₂Z₁-γ₁Z₁,

dZ₂/dt= ka₂Z₁-ka₃Z₂-γ₂Z₂,

dZ₃/dt= ka₃Z₂-ka₄Z₃-γ₃Z₃,

dZ₄/dt= ka₄Z₃-γ₄Z₄ ,

где U –– уровень требований, предъявляемый учителем, равный сообщаемым знаниям Z₀, Z –– суммарные знания, Z₁ –– самые “непрочные” знания первой категории с высоким коэффициентом забывания γ₁ (гамма), а Z₄ –– самые “прочные” знания четвертой категории с низким γ₄ (γ_i+1меньше γ_i, i= 1, 2, 3). Коэффициенты усвоения α_i (альфа) характеризуют быстроту перехода знаний (i-1)–ой категории в знания i–ой категории. Пока происходит обучение, k=1, а когда оно прекращается k=0. Коэффициент забывания γ_i=1/τ_i, где τ_i –– время, в течение которого количество знаний i–ой категории уменьшается в e = 2,72... раза. Результат обучения характеризуется не только суммарным уровнем приобретенных знаний Z= Z₁+ Z₂+ Z₃+ Z₄, но и коэффициентом “прочности”: Pr=(Z₂/4+ Z₃/2+Z₄)/Z. При изучении одной темы сначала растет уровень знаний Z₁, затем постепенно происходит увеличение количества более прочных знаний Z₂, Z₃, Z₄. При этом повышается прочность Pr. Результаты использования двухкомпонентной модели обучения представлены на рис. 2. Учитель проводит три урока в течении которых уровень требований растет пропорционально времени: U=a₁(t-t0)+a₂. Видно, что во время перерывов и после обучения уровень непрочных знаний Z₁ быстро уменьшается, а прочные знания Z₂ забываются медленнее. При использовании четырехкомпонентной модели получаются аналогичные результаты (рис. 3.). Уровень требований в течение занятия не изменяется.

Uses crt, graph;

const a1=0.01; a2=0.0075; a3=0.005; a4=0.0025; g1=0.02;

g2=0.002; g3=0.0002; g4=0.00002; dt=0.01; Mt=0.25; Mz=5;

Var t, U, Z1, Z2, Z3, Z4, Z, Pr, S, k: real; DV,MV: integer;

BEGIN DV:=Detect; InitGraph(DV,MV,’d:\bp\bgi’);

Repeat t:=t+dt; U:=0; k:=0;

If (t<500) then begin U:=40; k:=1; end;

If (t>800) and (t<1300) then begin U:=60; k:=1; end;

If (t>1600) and (t<2100) then begin U:=80; k:=1; end;

Z:=Z1+Z2+Z3+Z4;

Z1:=Z1+k*a1*(U-Z)*dt-g1*Z1*dt-k*a2*Z1*dt;

Z2:=Z2+k*a1*Z1*dt-g2*Z2*dt-k*a3*Z2*dt;

Z3:=Z3+k*a3*Z2*dt-g3*Z3*dt-k*a4*Z3*dt;

Z4:=Z4+k*a4*Z3*dt-g4*Z4*dt;

Pr:=(Z2/4+Z3/2+Z4)/(Z+0.001);

S:=S+k*(U-Z)*dt;

circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*U),1);

circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*U),1);

circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*U),1);

circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*U),1);

circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*(Z2+Z3+Z4)),1);

circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*(Z2+Z3+Z4)),1);

circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*(Z3+Z4)),1);

circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*(Z3+Z4)),1);

circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*Z4),1);

circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*Z4),1);

circle(10+round(Mt*t),450-round(150*Pr),1);

circle(10+round(Mt*t),450-round(S/100),1);

circle(10+round(Mt*t),450-round(150),1);}

until KeyPressed; CloseGraph;

end.

Рис. 2. Двухкомпонентная модель обучения

Рис. 3. Четырехкомпонентная модель обучения

Обучение будет наиболее эффективным, когда уровень требований учителя превышает знания учащегося на максимально возможную величину, при которой у учащегося не пропадает мотивация к учебной деятельности. Такой режим обучения будем называть согласованным. Для нахождения эффективного пути обучения, соответствующего минимальным затратам энергии учителя и учащегося, в качестве целевой функции рассматриваемой оптимизационной задачи возьмем функционал:

_j-Z_j) t ,

n= (t₂-t₁)/ t

Нагрузка на учащегося должна быть равномерно распределена по всем занятиям так, чтобы не было переутомления. Поэтому для каждого i-го занятия следует вычислять затраты энергии S_i=k(U-Z)Δt и сравнивать их с пороговым значением S_max. Допустим, в режиме согласованного обучения проводятся три занятия, начинающиеся в фиксированные моменты времени t₀=0, t₂ и t₄. Определим длительность занятий, при которой уровень знаний в момент t’ будет равен Z(t’)= Z’. Для решения этой оптимизационной задачи использовалась программа, содержащая цикл, в котором случайным образом изменяется длительность урока T_u, затем пересчитывается Z и выясняется, приблизился уровень знаний к требуемому значению Z’ или нет. Если да, то изменения T_u принимаются, если нет, то отвергаются, и все повторяется снова. Результаты представлены на рис. 4. Рассмотрим другую ситуацию, в которой начала t₀, t₂, t₄, t₆, t₈ и длительности T_u пяти занятий фиксированные, а уровни требований U_i(i=1,2,…,5) изменяются. Необходимо подобрать такие U_i, чтобы уровень знаний учащегося достиг заданного значения Z’. Результаты моделирования представлены на рис. 5.

Рис. 4. Нахождение оптимальной организации обучения

Рис. 5. Нахождение оптимальной организации обучения

Теперь представим, что учитель должен обучить ученика решать 10 задач возрастающей сложности θ_i= θ_i+i∆ θ, которая равна количеству знаний, требующихся для решения i-й задачи. Учитель располагает задачи в порядке возрастания сложности и задает их ученику через равные промежутки времени ∆t. Если общее количество знаний Z больше или равно θ_i­, то ученик решает задачу. Суммарные знания Z увеличиваются, часть непрочных знаний становится прочными. После этого ученику предлагается (i+1)-я задача с более высоким уровнем сложности θ_i+1 . Если у ученика знаний меньше чем θ_i+1, то он не может решить (i+1)-ю задачу сразу. Учитель его обучает в течение времени ∆t, а затем снова предлагает эту же или аналогичную задачу той же сложности θ_i+1. Занятия длительностью T_u ∆t чередуются переменами продолжительностью T_П ∆t.

Решение задачи будем рассматривать как случайный процесс, вероятность которого равна: Pi= 1/(1+exp(-λ(Z(t)-θ_i)) (формула Раша). Результаты имитационного моделирования обучения на трех и четырех занятиях представлены на рис. 6. Ступенчатая линия u(t) показывает, как меняется сложность решаемых задач; графики Z₁(t) и Z₂(t) характеризуют динамику роста непрочных и прочных знаний. Эти кривые похожи на графики на рис. 2., соответствующие линейной зависимости уровня требований учителя от времени.

Рис. 6. Модель обучения путем решения задач возрастающей сложности