3. Механизм сложного начисления процентов ( compound interest )

Рассмотрим модельную задачу 2.

Условие модельной задачи 2 (условие – жирным шрифтом, пояснения к задаче - обычным).

Вы вложили в коммерческий банк 1000 грн. на срок 4 года под 10% годовых на условиях ежегодного сложного начисления процентов. Это означает, что в конце каждого года Вы не будете получать в банке проценты. Эти проценты Вы будете оставлять в конце каждого года на счету, а на них будут начисляться новые проценты. В конце четвертого года Вам вернут Ваши 1000 грн., вложенные в начале первого года и проценты, начисленные за все 4 года. Вклад денег в банк называется депозитный вклад. Требуется найти фактическую общую сумму денег, которую Вы получите по окончании четырех лет.

Решение модельной задачи 2

Рассмотрим данную финансовую операцию по этапам:

этап 1: в начале первого года Вы положили на депозит 1000 грн.;

этап 2: в конце первого года Вы имеете на депозитном счету 1100 грн.:

1000 грн. + 1000 грн. * 0,1 = 1000 грн. * (1+0,1) = 1100 грн.

100 грн. – Ваш процент за первый год – Вы оставляете в банке этот процент. На начало второго года у Вас на депозитном счету уже 1100 грн.

этап 3: в конце второго года Вы имеете на депозитном счету 1210 грн.:

1100 грн. + 1100 грн. * 0,1 = 1100 грн. * (1+0,1) = 1210 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1)=1000 грн. * (1+0,1)²=1000 грн. * 1,21 =1210 грн.

На начало третьего года у Вас на депозитном счету уже 1210 грн.

этап 4: в конце третьего года Вы имеете на депозитном счету 1331 грн.:

1210 грн. + 1210 грн. * 0,1 = 1210 грн.*(1+0,1) = 1331 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) = 1000 грн. * (1+0,1)³ = 1000 грн. * 1,331 = 1331 грн.

На начало четвертого года у Вас на депозитном счету уже 1331 грн.

этап 5: в конце четвертого года Вы имеете на депозитном счету 1464.1 грн.:

1331 грн. + 1331 грн. * 0.1 = 1331 грн.*(1+0,1) = 1464.1 грн.

Данный расчет можно провести иначе:

1000 грн. * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) * (1+0,1) = 1000 грн. * (1+0,1)⁴ = 1000 грн. * 1,4641 = 1464,1 грн.

В конце четвертого года Вы получите на руки 1464,1 грн.

Итак, в начале первого года Вы вложили 1000 грн., а по окончании четырех лет Вы получили фактически 1464.1 грн., т.е. Вам вернули вложенные Вами 1000 грн. и начислили в каждом из четырех лет проценты по сложной схеме (начисление процентов на процент), что в сумме составило 464.1 грн. процентов.

МЕХАНИЗМ НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ ОБУСЛАВЛИВАЕТ ИХ КАПИТАЛИЗАЦИЮ (возрастание), ТО ЕСТЬ БАЗА, ОТ КОТОРОЙ ИДЕТ НАЧИСЛЕНИЕ, ПОСТОЯННО ВОЗРАСТАЕТ.

В данной модельной задаче 2 вложенные Вами на депозит 1000 грн. – это PV, полученные Вами фактически 1464,1 грн. – это FV, процентная ставка равна 10% годовых – это i, количество раз начисления процентов – это n.

Из анализа этапов данной модельной задачи 2 можем записать формулу сложного начисления процентов:

, (6)

где: FV – будущая стоимость (смотри п.1.1) в ден. ед.;

PV – настоящая стоимость (смотри п.1.1) в ден. ед.;

i – процентная ставка в долях (смотри п.2.1) в каждом из периодов начисления процентов n;

n – количество периодов начисления процентов, в каждом из которых процентная ставка равна i.

Используя (6), решение модельной задачи 2 принимает вид:

Ответ: фактическая общая сумма денег, которую Вы получите по окончании четырех лет будет FV = 1464,1 грн.

Как видно из модельных задач 1 и 2, разные схемы начисления процентов приводят одинаковые базовые условия вклада (сумма вклада - 1000 грн.) к совершенно различным конечным суммам денег. Схема простых процентов дает, в итоге 1400 грн., а схема сложных процентов – 1464,1 грн.

Видим, что схема сложных процентов дает большую будущую стоимость. Поэтому финансисты всего мира считают будущую стоимость по сложной схеме начисления процентов, если иное не оговорено в условиях.

• ЗАПОМНИТЕ: ЕСЛИ В УСЛОВИЯХ НЕ ОГОВАРИВАЕТСЯ СХЕМА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ (СЛОЖНАЯ ИЛИ ПРОСТАЯ), ТО ВСЕГДА РАСЧЕТ ВЕДЕТСЯ ПО СЛОЖНОЙ СХЕМЕ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ.

Формулы (5) и (6) используются для расчетов с использованием процентных ставок. Если же необходимо выполнить расчет с использованием учетных ставок то пользуются формулами (7), (8).

Формула начисления простых процентов при использовании учетной ставки:

(7)

где d –учётная ставка в каждом из n периодов начисления процентов. Значение символов PV, FV, n –то же, что и в формуле (5).

Формула начисления сложных процентов при использовании учетной ставки:

(8)

Суть символов PV, FV. n, d – та же, что и в формуле (7)

• ЗАПОМНИТЕ: ЕСЛИ В УСЛОВИЯХ НЕ УКАЗАНО, КАКУЮ СТАВКУ – УЧЕТНУЮ ИЛИ ПРОЦЕНТНУЮ – ИСПОЛЬЗОВАТЬ ПРИ РАСЧЕТЕ, ТО ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ(формулы(5),(6)). Закрепим полученные знания на примере решения следующих задач