§3.3. Обработка результатов многократных измерений

Методы обработки многократных измерений, учет всех погрешностей,

определение погрешности при косвенном измерении

При многократных измерениях учитывается случайная составлюящая погрешности. При наличии случайных погрешностей наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны относительно ее истинного значения. В этом случае действительное значение находят как среднее арифметическое, наиболее вероятное из серии отсчетов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью покрывает истинное значение.

Наилучшей оценкой истинного значения величины X является выборочное среднее значение

(3)

где x_n - отсчет величины X , N - число отсчетов.

Для оценки разброса отсчетов при измерении используется выборочное среднее квадратическое отклонение отсчета

(4)

Выборочное среднее является случайной величиной и его разброс относительно истинного значения измеряемой величины оценивается выборочным средним квадратическим отклонением среднего значения

(5)

Т.е. среднее квадратическое отклонение среднего из N отсчетов в корень из N раз меньше среднего квадратического отклонения одного отсчета

Доверительным интервалом называется интервал

который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины.

Доверительной вероятностью (надежностью) результата серии наблюдений называется вероятность, с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины.

Случайную составляющую погрешности принято выражать как полуширину доверительного интервала. Размер доверительного интервала обычно задает в виде кратного S_<x> значения. Тогда случайная составляющая погрешности многократных измерении (6)

где t_α - безразмерный коэффициент доверия (коэффициент Стьюдента). I

Коэффициент доверия показывает, во сколько раз нужно увеличить среднее квадратическое отклонение среднего, чтобы при заданном числе измерений получить заданную надежность их результата. Коэффициент доверия сложным образом зависит от надежности и числа измерений, и его значение определяют по статистическим таблицам. При расчете случайной погрешности задаются надежностью измерений, которую (в зависимости от целей измерений и требований к ним) принимают равной 0,9; 0,95; 0,96; 0,98; 0,99; 0,997; 0,999.

Чем больше доверительная вероятность, тем надежнее оценка интервала и, вместе с тем, шире его границы.

Полная погрешность ∆x прямых измерений вычисляется по формуле 2, если известны дополнительные погрешности.

Обработку прямых измерений рекомендуется начинать с проверки отсчетов на наличие промахов. Существует много критериев выявления и отбрасывания промахов, но ни один из них не является универсальным. Выбор критерия зависит от цели измерений, но решение отбросить какие-то данные, в конечном счете, всегда субъективно. Алгоритм расчета многократного измерения в табл1

Таблица 1

А лгоритм обработки прямых измерений

О пределить инструментальную погрешность. Отобрать аномальный отсчет. Вычислить среднее значение серии измерений — формула (3) Вычислить среднее квадратическое отклонение отсчета— формула 4) Вычислить выборочное среднее квадратическое отклонение среднего значения — формула (5) Определить коэффициент доверия для заданной надежности и полученного числа отсчетов — Вычислить случайную погрешность — формула (6) Вычислить полную погрешность — формула (2) После округлений результат обработки измерений записать в форме: x=(<x>±∆x)⁄Ÿ.; δ = (Δх/<х>)100%; α.=

Иногда необходимо объединить результаты нескольких серий прямых измерений одной и той же физической величины. Эту задачу можно решить следующим образом. Пусть результаты M измерений представлены в виде

Х ₁=< Х₁> ±Δх₁, X₂ =< Х₂ > ±Δх₂ ,..., Х_М=< Х_м> ±Δх_м. Наилучшее значение < X > и его погрешность ∆x вычисляются по формулам:

где - статистический вес каждой серии измерений.

Если измерения косвенные, то используем следующее. Пусть u = f (x ,y,...) – функциональная зависимость между измеряемой величиной u и величинами x,y , ... , значения которых найдены прямыми измерениями. Действительное значение < u > определяется как:

" < u >= f (< x >,< y >,...). (9)

Получим выражение для погрешности Δu . Если зафиксировать значения всех аргументов кроме одного, например x ,то приращение функции при изменении ее аргумента имеет вид:

" Δu = (f < x > + Δx,< y > + Δy,…) − f < x >,< y >,... (10)

Если значение Δx мало, то в интервале [< x > −Δx,< x > +Δx] функцию u = f (x ) можно считать линейной и Δ_zu ≈ (∂f /∂x)Δx . (11)

Величина Δ_zu характеризует погрешность Δu , обусловленную погрешностью Δx. Аналогично определяются составляющие погрешности Δu_z , вносимые другими аргументами. Полная погрешность Δu косвенных измерений u вычисляется суммирования по модулю ее составляющих, вносимых каждым аргументом:

Δu_z = ‖Δ_x ‖ + ‖Δ_y‖ + ... . (12)

Уравнение 12 после преобразований может быть представлено в виде правила относительных погрешностей

( 13)

Алгоритм обработки косвенных измерений в табл. 2

А лгоритм обработки косвенных измерений

1. По известной зависимости измеряемой величины от её аргументов, значения которых найдены с помощью прямых измерений, вычислить действительное значение функции формула (9) 2. Вычислить составляющие погрешности как приращения функции по каждому аргументу формула (10) Или найти относительные погрешности 3. Вычислить полную погрешность функции формула (12) (13) 4. После округлений результат обработки измерений записать в форме: u (u Δu ) δΔu /u 100%;