2. Решение задач на нормальное распределение случайных величин

Нормальным, называют распределение вероятностей непрерывно· случайной величины X плотность которого имеет вид

где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение СВ .

Вероятность того, что Χ примет значение, принадлежащее интервалу (

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

В частности, при а=0 справедливо равенство

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределе­ния соответственно равны:

ПРИМЕР № 1 (322).

Математическое ожидание нормально распреде­ленной случайной величины Χ

равно а = 3 и среднее квадратическое отклонение = 2.

Написать выражение плотности вероятности случайной величины X.

РЕШЕНИЕ

ПРИМЕР № 2 (328). . Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Χ соответственно равны 10 н 2. Найти вероят­ность того, что в результате испытания Χ примет значе­ние, заключенное в интервале (12, 14).

Решение. Воспользуемся формулой

ПРИМЕР № 3 (337). Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попада­ния Χ в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна веро­ятность попадания Χ в интервал (0, 10)?

Решение. Так как нормальная кривая симметрична относи­тельно прямой Х= а =10, то площади, ограниченные сверху нор­мальной кривой и снизу—интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания Χ в соответствующий интервал, то

ПРИМЕР № 4

Текущая цена X одного из видов производимой продукции изменяется случайным образом и может быть описана нормальным законом распределения с матема­тическим ожиданием

т_х = 100 руб. и средним квадратичным отклоне­нием = 1,2 руб.

Найти вероятность того, что текущая цена этого вида продукции будет находиться в пределах 102 х < 105. С помощью правила трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена этого вида продукции и вероятность нахож­дения цены в этих границах.

Р ешение. Плотность вероятности нормально распределенной слу­чайной величины определяется формулой (см.формулу для вычисления плотности нормально-распределённой СВ)

Вероятность нахождения текущей цены продукции в интервале от x₁ = 102 руб до x₂=105 руб можно определить по формуле вычисления вероятности попадания нормальной СВ в заданный интервал с помощью табличной функции Лапласа Ф(x):

где

По таблице значений функции Лапласа (см. приложение 1) находим:

Для искомой вероятности получим:

Границы интервала, в которых находится текущая цена продукции , по правилу трёх сигм, записываются в виде:

Для решаемой задачи данный интервал будет равен:

96,4 X<103,6.

Для вероятности нахождения текущей цены продукции в данном интервале получим:

Учитывая свойство функции Лапласа для отрицательных значений её аргумента, а именно:

находим искомую вероятность

Таким образом, вероятность нахождения нормально-распределённой случайной величины в интервале равна 0,9973.