Примеры выполнения задач

1. Найти числовое значение равнодействующей и ее направление относительно осей х и y плоской системы сходящихся сил аналитическим и геометрическим методами (рис. 1)

Р₁ Дано: Р₁ = 20 кН;

Р₂ Р₂ = 12 кН;

Р₃ = 8 кН;

Р₄ = 10 кН;

α α = 30⁰;

А β β = 170⁰;

γ = 45⁰

γ Определить: R

Р₃

Р₄

Рис. 1

Решение :

Проводим оси координат, причем ось Y направляем по линии действия усилия Р₁, а ось Х – перпендикулярно оси Y (рис. 2).

Y Y

Р₁ Р₁

Р₂ Р₂

30⁰

А α Х

Х

β 25⁰

γ

Р₃ Р₄

Р₄ 20⁰

Р₃

Рис. 2 Рис. 3

Угол между силой Р₂ и осью Х будет равен: 90⁰ – α = 90 – 30 = 60⁰

Угол между силой Р₃ и осью Х будет равен: β – 60⁰ = 170 – 60 = 110⁰

Угол между силой Р₂ и осью Y будет равен:110 – 90 = 20⁰

Сумма углов α + β + γ = 30 + 170 + 45 = 245⁰

Угол между силой Р₄ и осью Y будет равен: 360 – 245 = 115⁰

Угол между силой Р₄ и осью Х будет равен: 115 – 90 = 25⁰

2. Аналитический метод определения равнодействующей:

Составляем уравнения равновесия сил относительно осей Х и Y:

ΣY = Р₁ + Р₂ · cos 30⁰ – P₃·cos 20⁰ – P₄·sin 25⁰ = R_x ;

R_x = 20 + 12·0,866 – 8·0,939 - 10· 0,423 = 18,65 кН;

R_x = 18,65 кН;

ΣХ = Р₂ · sin 30⁰ – P₃· sin 20⁰ – P₄· cos 25⁰ = R_y ;

R_y = 12·0,5 - 8·0,342 - 10·0,906 = - 5,79кН;

R_y = - 5,79кН;

R = = = = 19,55 кН.

3. Графический метод определения равнодействующей:

По вертикали в выбранном масштабе откладываем вектор силы Р₁, из конца вектора Р₁ под углом 30⁰ к линии действия силы Р₁ откладываем вектор силы Р₂. Из конца вектора Р₂ под углом 20⁰ к оси Y откладываем вектор силы Р₃ и аналогично строим вектор Р₄ под углом 25⁰ к оси Х.

Соединяя точку А с концом вектора Р₄, получаем равнодействующую системы сил. Умножив на масштаб длину вектора Р₄ получаем числовое значение равнодействующей. Сравниваем значения равнодействующих, они должны быть равны, тогда считается, что задача выполнена верно.

Р₂

Р₃

µ : в1 см –1 кН

Р₄

Р₁

R· µ = 19,5 кН ≈19,55кН.

R

А

Ответ: R= 19,5 кН

2. Определить реакции опор заданной балки

М q P

А В

a b с

R_A M P R_В

А В

Q

Дано:

М = 20 кН·м;

q = 10 кН/м;

Р = 15 кН;

а = 2 м;

b = 4 м;

с = 4 м.

Определить: R_A, R_В

Решение:

1. Освобождаемся от связей заменив их действие реакциями опор R_A и R_В;

2. Равнораспределенную нагрузку q заменяем концентрированной результирующей Q = q·b = 10·4 = 40 кН. Указываем на балке заданные силы М, Q, Р.

3. Составляем уравнения равновесия ΣМ_А =0 и ΣМ _В = 0; для проверки правильности решения составляем уравнение равновесия сил относительно оси Y.

ΣМ_А = 0;

М - Q·(а+ ) – P(a+b) + R_В( а + b + с) = 0;

R_В = = = 23 кН;

ΣМ_В = 0;

P·с + Q·(с+ ) + М – R_А( а + b + с) = 0;

R_А = = = 32 кН;

Проверка:

Σ Y = 0 ;

R_А – Q – Р + R_В = 0;

32 – 40 – 15 + 23 = 55 – 55 = 0

Значит реакции опор определены верно

Ответ : R_А = 32 кН; R_В = 23 кН.

3

d

. Определить координаты положения центра тяжести плоской фигуры.

k

h

a g

f

b

c

e

Дано:

a = 80 мм;

b = 25 мм;

c = 30 мм;

d = 20 мм;

e = 80 мм;

f = 55 мм;

g = 35 мм;

h = 30 мм;

k = 40 мм. y

А

C

III

I E

В С

28,96 мм

G

II

IV x

0 31,4 мм

Решение ; F D

1. Проводим оси координат ХОY.

2. Разбиваем (добавляем) на простые фигуры и выпишем площади и координаты центров тяжестей простых фигур.

I – треугольник Δ АВЕ

S_I = = = = 500 мм²;

Х_с1 = = = 8,3 мм;

Y_с1 = = = 13,33 мм;

II – прямоугольник ОВСD

S_1I = 55·80 = 4400 мм²;

Х_с1I = = = 40 мм;

Y_с1I = = = 27,5 мм;

III – окружность диаметром d = 20 мм;

S_III = = = 341,16 мм²

Х_с1II = e – h = 80 – 30 = 50 мм;

Y_с1II = b = 25 мм;

IV – треугольник Δ FDG

S_IV = = = = 625 мм²;

Х_с1V = e  = 80  = 63,33 мм;

Y_с1V = = = 8,33 мм;

3. Определяем координаты центра тяжести фигуры

Х_с = =

= = = 31,4 мм;

Y_с= =

= = = 28,96 мм;

Ответ: Х_с =31,4 мм; Y_с= 28,96 мм;