Спектр комплексной огибающей

Полосовой сигнал вида является действительной функцией времени, поэтому для его спектральной функции имеет место

причём

т. е. амплитудный спектр сигнала является чётной функцией частоты, а фазовый – нечётной функцией (рис. 1.12.1).

П реобразование Фурье комплексной огибающей этого сигнала

С учётом и теоремой смещения для преобразования Фурье имеем

Отсюда прямой и инверсный спектры сигнала будут

Рис. 1.12.4

Амплитудный спектр и фазовый спектр комплексной огибающей полосового сигнала изображёны на рис. 1.12.4. Можно отметить несимметричность амплитудного спектра комплексной огибающей на интервале .

Аналитический сигнал. Преобразование Гильберта

Рассмотрим еще один распространенный способ комплексного представления действительных колебаний. Построим аналитический сигнал

у которого

т. е. вещественная часть равна исходному действительному сигналу, а спектр содержит только положительные частоты. Нетрудно видеть, что

где

Учитывая, что из имеем

Свёртка

по определению есть преобразование Гильберта функции

Таким образом, аналитический сигнал со спектром будет

где определяется из , т. е.

Из этого выражения вытекает ещё одна связь между спектрами:

из которой следует обратное преобразование Гильберта:

Замечание. Выражение под интегралом и имеет особую точку поэтому интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, т. е.

Некоторые свойства преобразования Гильберта

Отметим прежде всего свойство линейности этого интегрального преобразования, в чём легко можно убедиться непосредственно из и .

Выражению можно дать следующую интерпретацию:

преобразованный по Гильберту сигнал получается пропусканием исходного действительного сигнала через фильтр с импульсной характеристикой (с частотной характеристикой )

( рис. 1.12.5). Такой фильтр осуществляет задержку по фазе всех гармонических компонент сигнала в сторону отставания на 90.

Рис. 1.12.5. Преобразователь Гильберта

Действительно, легко проверить, что для имеем а для имеем Следовательно, если

то

Такие колебания называются сопряжёнными.

Для произвольных сигналов преобразователь Гильберта нереализуем, т. к. его импульсная характеристика не является каузальной. Однако его можно реализовать приближённо с некоторой задержкой если отбросить ветви левее точки и правее точки и сдвинуть вправо на Погрешности преобразования, связанные с таким усечением импульсной характеристики, могут быть значительными. Кроме того, задержка сигнала на должна быть учтена при работе преобразователя с другими устройствами. Нереализуемость преобразователя Гильберта объяснить можно также тем, что сдвиг фаз на для всех компонент сигнала практически не может быть выполнен точно. Для узкополосных радиосигналов такая операция выполняется тем точнее, чем уже полоса, т. е. чем сильнее неравенство

Из и имеем

Умножение на означает перенос спектра вправо на величину При достаточной узкополосности сигнал будет иметь односторонний спектр с положительными частотами и может рассматриваться как аналитический. Поэтому сопряжённый по Гильберту сигнал

Сравнивая выражения для и видим, что преобразование Гильберта выполняется над и а квадратурные

компоненты и остаются неизменными.

Ядро преобразования Гильберта является нечётной функцией аргумента относительно точки Следовательно, сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю:

Следствием этого является следующее важное свойство преобразования Гильберта: если сигнал достигает экстремума при каком-то то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал проходит через нуль.

Возьмём спектр аналитического сигнала и сдвинем его так, чтобы он оказался сконцентрированным около нулевой частоты:

Этому спектру соответствует колебание

которое называется комплексной огибающей действительного сигнала Следовательно:

и

Во многих случаях частоту выбрать нетрудно. Например, для узкополосного сигнала за принимается частота немодулированного несущего колебания. В этом случае

при достаточной узкополосности совпадает с

В других случаях выбирается так, чтобы минимизировать ширину полосы . Один из способов состоит в выборе “центра тяжести” положительной функции Такое минимизирует величину Рис. 1.12.6 поясняет взаимосвязь спектров действительного узкополосного колебания, аналитического с игнала и комплексной огибающей.

Рис. 1.12.6. Спектры

а – узкополосного сигнала; б – аналитического сигнала;

в – комплексной огибающей

П ример 1.12.1. Рассмотрим действительный низкочастотный сигнал со спектром показанным на рисунке. Соответствующий аналитический сигнал имеет спектр

поэтому

Отсюда

На рис. 1.12.7 приведены графики этих сигналов, нормированных по амплитуде. Следует отметить, что сопряжённый сигнал обращается в нуль в точке, где исходный сигнал достигает максимального значения.

Рис. 1.12.7. Исходный и сопряжённый сигналы