Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА»

Кафедра математики

Математика

Контрольная работа № 1,2

Выполнила: студентка Гордеева А.В.

Номер зачетной книжки: 1323196

Вариант 6

Санкт-Петербург

2013

Контрольная работа №1. Задание 1. Линейная алгебра

Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3

задана своей расширенной матрицей.

Требуется:

1) записать систему в канонической форме (в виде системы уравнений),

2) решить её методом полного исключения,

3) решить эту же систему по формулам Крамера, причём определители вычислять, используя их свойства.

Решение

2)

Шаг 1: первую строку делим на 3 получаем :

Шаг 2: первую строку умножаем на 4, получаем :

Шаг 3: вычтем из второй строки первую строку и восстанавливаем её, получаем:

Шаг 4: умножаем первую строку на -3, получаем :

Шаг 5: вычтем первую строку из третьей строки и восстановим её, получаем :

Шаг 6: Нашли единицу во втором столбце (изменив знак на противоположный у всей строки) и поменяли местами третью и вторую строку :

Шаг 7: умножаем вторую строку на - , получаем :

Шаг 8: вычтем вторую строку из первой и восстановим её :

Шаг 9: умножаем вторую строку на :

Шаг 10: вычтем вторую строку из третьей строки и восстановим её:

Шаг 11: получили единицу в третьей столбце (разделив третью строку на - ) :

Шаг 12: умножаем третью строку на , получаем:

Шаг 13: вычтем третью строку из первой и восстановим её :

Шаг 14: вычтем третью строку из второй :

Если заменить эту матрицу соответствующей ей системой уравнений, то получим ответ:

3) Вычисляем определитель системы :

По формуле

=

Определитель системы система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: .

Из определителя системы составим определитель , заменив в нём

первый столбец столбцом свободных членов и вычислим его:

=

Из определителя системы составим определитель , заменив в нём

второй столбец столбцом свободных членов и вычислим его:

=

Из определителя системы составим определитель , заменив в нём

третий столбец столбцом свободных членов и вычислим его:

=

Подставляем найденные значения в формулы Крамера, тогда получим:

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим найденные

значения неизвестных в исходную систему:

Ответ: .

Задание 2. Векторная алгебра.

Даны координаты вершин пирамиды A, B, C, Q, причём точки A, B, C - вершины её основания.

Средствами векторной алгебры найти:

1) векторы с началом в точке A и концом в остальных вершинах пирамиды;

2) длину этих векторов и направляющие косинусы вектора ;

3) скалярное произведение векторов и

4) угол между рёбрами и ;

5) векторное произведение векторов и ;

6) площадь основания пирамиды;

7) смешанное произведение векторов с началом в точке А

и концом в остальных вершинах пирамиды;

8) объём пирамиды.

Р

Q

ешение.

A

C

B

Даны координаты точек:

A (6; -1; 1),

B (2; 3; 4),

C (3; -3; 0),

Q (4; 4; 7).

Рис.1

1. В координатной форме вектор можно задать следующим образом:

, где – орты осей координат.

Чтобы найти координаты вектора нужно от координат конца вычесть координаты начала:

= ;

= ;

=

2. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов всех его координат:

= = =

Направляющие косинусы вектора это косинусы углов между вектором и осями координат.

Чтобы их найти нужно соответствующую координату вектора разделить на его длину.

Следовательно, направляющие косинусы вектора :

;

;

= .

Чтобы проверить правильность этих вычислений , найдём сумму квадратов направляющих косинусов, она должна быть равна единице:

= = ;

= = .

3. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить как сумму произведений одноимённых координат, поэтому

=

4. Косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, делённому на произведение их длин:

5. Если векторы заданы своими координатами:

, а ортами координатных осей являются векторы , то их векторное произведение это вектор , который можно найти разложив по первой строке определитель третьего порядка:

= .

6. Площадь найдём используя геометрический смысл векторного произведения векторов:

.

7. Смешанное произведение трёх векторов, заданных в координатной форме, , равно определителю третьего порядка:

Тогда,

.

8. Объём пирамиды найдём, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов:

.