2. Складний пуассонівський процес можна представити у вигляді:

Ответ: б) стохастичного інтегралу;

3. Нехай та - квадратично-інтегровані -мартингали.

а) Якщо та ­– дійсні числа, показати, що для будь-якого цілого

б) Доказати нерівність

Решение: а) Из определения квадратичной интегрируемости, квадратической ковариации и взаимной характеристики мартингалов, получаем

б) Из того, что квадратическая вариация всегда положительная и, используя результат из пункта а), получаем для любого :

Пусть , тогда

Откуда следует

.

Вариант 6.

1. Сформулювати та доказати варіант теореми Леві для вінеровського процесу.

Теорема (Вариант теоремы Леви для винеровского процесса). Пусть процесс определен при , , и для всех определены σ-алгебры , причем при . Если выполнены условия:

1. для всех величина измерима относительно ;

2. с вероятностью, равной единице, для всех и , то есть процесс – мартингал относительно потока ;

3. с вероятностью, равной единице, для всех и ;

4. ,

тогда является винеровским процессом.

Доказательство. Вычислим условное математическое ожидание . Покажем, что верно

, (1)

откуда очевидным образом вытекает, что является винеровским процессом. Положим

В силу того, что при имеем

(2)

В силу того, что

.

Из (2) следует, что

То есть,

Таким образом, (1) имеет место. Теорема доказана.

2. Стохастичний інтеграл Іто зі змінною верхньою межею є:

Ответ: а) мартингалом

3. Використовуючи формулу Іто, довести, що:

Решение: Пусть , тогда удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению . Рассмотрим процесс , тогда используя формулу Ито для функции , и учитывая, что , получаем:

Т.е. Переходя к интегральной записи, получаем:

Откуда с учетом , получаем:

.

Вариант 7.

1. Описати конструктивне завдання пуассонівського процесу.

Пусть наблюдается поток исков, поступивших в страховую компанию за промежуток времени :

0 τ₁ τ₁+τ₂ τ₁+…+τ_n t τ₁+τ₂+…+τ_n+τ_n+1

Обозначим – число исков, поступивших в страховую компанию за промежуток времени , моменты – моменты наступления страховых событий, причем – независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение с параметром , то есть

Найдем вероятность того, что на интервале поступит ровно требований, то есть

Введем теперь считающий поступления требований процесс :

0 τ₁ τ₁+τ₂ τ₁+…+τ_k

То есть на интервале от нуля до поступления первого требования он равен нулю, на следующем интервале – единице и т.д., то есть в любой момент времени равно числу требований, поступивших в компанию за промежуток времени .

Вероятность того, что за промежуток времени поступит ровно требований, таким образом, равна

Процесс , называется процессом Пуассона.

2. У стохастичному диференціалі відсутній коефіцієнт зносу. У формулі Іто в загальному випадку присутні:

Ответ: а) частинна похідна за t, частинна похідна за х і друга частинна похідна за х;