2. Характеристика стандартного вінерівського процесу дорівнює:

Ответ: а) ;

3. Довести , якщо - супермартінгал, - марківський момент часу, що приймає значення на множині всіх раціональних точок проміжку .

Решение: Докажем вначале неравенство для дискретного случая.

Пусть – марковский момент, принимающий значения , тогда .Пусть – супермартингал относительно потока .

В силу того, что – супермартингал, имеем:

и так далее

Сложив все эти неравенства, получим

.

Что и требовалось доказать. Теперь рассмотрим случай непрерывности времени.

Пусть – множество рациональных точек отрезка , оно счётное. Тогда

Вариант 25.

1. Описати модель Кларка та перевірити її на безарбітражність.

Модель Кларка, описывающая эволюцию цену рискового актива, имеет вид:

_{или в дифференциальном виде}

Здесь

Заметим, что

то есть – средняя локальная доходность рискового актива (акции).

Нетрудно заметить, что по исходной мере процесс будет мартингалом лишь при то есть безарбитражность модели будет иметь место лишь при нулевой доходности, что вполне естественно, но не соответствует реальности, так как теряется смысл в использовании такого актива. Проверим безарбитражность по некоторой мере , которая эквивалентна исходной мере .

Найдем плотность перехода от меры к мере , по которой будет мартингалом. Если такая плотность существует, то модель безарбитражна. Плотность должна удовлетворять следующим условиям:

– мартингал, т.е.

При подстановке в обобщенную формулу Байеса, должно выполняться соотношение

.

Плотность ищем в виде .

Воспользовавшись обобщённой формулой Ито нетрудно убедиться в том, что если имеет вид

,

где – та же центрированная мера, что и в процессе , то процесс будет мартингалом.

Используя обобщенную формулу Байеса, получим уравнение

или

.

Обозначим , тогда , т.е. процесс должен быть мартингалом.

Далее, если

то опять применив формулу Ито, получим

Для того, чтобы процесс был мартингалом, достаточно взять в место корень уравнения

которое равносильно уравнению

(1)

Нарисовав функции, нетрудно заметить, что уравнение (1) всегда имеет единственный корень Тогда процесс примет конкретный вид

,

эквивалентная мере мера будет определена, а процесс будет мартингалом по этой мере. Безарбитражность модели установлена.

2. Якщо та , то яке з наведених тверджень є вірним:

Ответ: г) все вищеозначене.

3. Перевірити, чи є випадковий процес рішенням стохастичного диференціального рівняння , , де - невипадковий параметр.

Решение: Пусть , тогда . С помощью формулы Ито посчитаем стохастический дифференциал от сложной функции . Учтем, что тогда получаем:

Сравнивая с условием, приходим к выводу, что не является решением, заданного в условии стохастического дифференциального уравнения.