47. Қатар жинақтылығың зерттеудегі Коши радикалдық белгісі.Мысал
48. Қатар жинақтылығың зерттеудегі Кошидің интегралдық белгісі
49.Қатарларды салыстыру белгісі.Мысал
50.Кезең таңбалы қатар жинақтылығың зерттеудің Лейбниц белгісі.мысал). Кезек таңбалы аталымды қатарлар класын қарастырамыз. Анықтама.Мына түрде берілген U1-U2+U3-U4+…+(-1)nUn+…=(-1)n=1Un (1) қатарды Кезек таңбалы қатар д.а.Мұндағы Un>0 n=1,2,3, бар nэN үшін яғни қатардың оң ж/е теріс мүшелері бір-бірінен кейін кезектесіп орналады. Бұл қатар жинақтылығының жеткілік шартын 1714 жылы Лейбниц ашқан. Теор:(Лейбниц белгісі) Егер (1) қатар мүшелері абсолют шамаларының тізбегі монотонды кемімелі болса ,яғни limUn=0 онда кезек таңбалы қатар д.а. Сонымен қатар (1) түріндегі қатардың қосындысы мына шартты 0<s<4 (2) қанағаттандырады. Ескерту: Мына түрдегі - U1+U2-U3+U4+… қатарда зерттеу үшін (яғни бірінші мүшесі теріс болатын ) барлық мүшелерін (-1)-ге көбейту арқылы (1) түріндегі қатарға келтіріп зерттейміз. Мысал;1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)n-11/n+… берілген қатар Лейбниц белгісі бойынша жинақты ж/е бұл қатардың гармоникалық қатардағы айырмашылығы жуп нөмерлі мүшелерінің таңбасында ғана болады.Кезек таңбалы қатардың Лейбниц белгісі қанағаттандыратын тәжірбелік қолданымда аса маңызды бар қасиетін атап өтейік. Айталық мына қатар U1-U2+U3-U4+…+(-1)nUn+… жинақты ж/е оның қосындысы S болсын. Сонда S=Sn=(Un-1-Un-2+Un-3-…) тең болады. Мына шартты |Rn|=Un-1 қанағаттандыратын қосындысы Rn=S-Sn қатардың қалдығы д.а. Сонымен қатар қосындысын оның дербес қосындысына айырбастау арқылы көрсетілген шартты |Rn|=Un-1 қанағаттандыратын кететін қателікті таба аламыз. Мысал,1-1/3*3+1/5*32-1/7*33+…+(-1)n-11/(2n-1)*3n-1 +… қатар Лейбниц белгісі бойынша жинақты болады.Егер қатардың алғашқы алты мүшесінің жуық шамамен қосындысы S ретінде алсақ, онда абсолютті шамасы мына шамадан кем болатын қателікті ала аламыз. 1/11*35<1/9477<0,001 Ескерту; Кезек таңбалы қатар,таңбалы ауыспалы қатардың дербес түрі болып табылады.
51.Таңбалы ауыспалы қатардың абсолютті түрде жинақтылығы.негізі қасиеттері Шексіз көп оң ж/е шексіз көп теріс мүшелері бар қатарды un таңбалары ауыспалы қатар д.а.Қайсыбір таңбалары ауыспалы U1+U2+U3+U4+… (3) Қатарды алайық. Яғни қатар мүшелерінің таңбалары әртүрлі болатын. Сонымен қатар (3) түріндегі қатар мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған қатарды қарастырамыз. |U1|+|U2|+…|Un|+… (4) Теор;Егер (4) түріндегі қатар жинақты болса, онда (3) түріндегі қатар жинақты болады. Ан;Егер таңбалары ауыспалы қатар мүшелерінің абсолют шамалары бойынша құрылған қатар жинақты болса, онда қатар абсолютті жинақталатын қатар д.а. Абсолютті жинақталатын қатардың негізгі қасиеті. 1)Егер қатар абсолютті жинақты ж/е оның қосындысы S болатын болса, онда осы қатар мүшелерінің орындары ауыстырылганан шыққан қатарда жинақты ж/е қосындысы S-ке тең болады. 2) қосындысы S1, S2 , болатын абсолютті жинақталатын қатарларды қосуға (айыруға) болады нәтижесінде қосындысы S1, S2 болатын жинақталатын қатар шығады 3) Екі қатардың U1+U2+U3+U4+… ж/е V1+V2+…+Vn+.. көбейтіндісі деп мына түрдегі қатарды айтады. (U1+U2+U3+U4+… )( V1+V2+…+Vn+..=U1 V1+(U 1V 2+U 2V1)+(U 1V2+U2 V3+U 3V1)+…+(U 1Vn+U nVn+..+U nV1)+…
52. Таңбалы ауыспалы қатардың шартты түрд жинақтылығы.мысал абсолютті жинақталып, олардың қосындылары сәйкес S1, S2 , болатын болса, онда барлық мына түрдегі Ui Vs(i=S=1,2….) көбейтінділерден құралған (қандай ретпен алындаса)қатар абсолютті жинақты ж/е оның қосындысы S1, S2 болады сонымен абсолюті жинақталатын қатарларды жәй қатарлар сияқты қосуға, азайтуға, көбейтугеболады Ан;Егер таңбалары ауыспалы қатардың өзі жинақты ал мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған қатар жинақсыз болса, онда шартты түрде жинақты болады. Мыс;Берілген қатарды (-1)n-11/n жинақтылықа зерттейік. Бұл қатар Лейбниц белгісінің шарттары орындалады. 1) |U1|>|U2|>|Un|> 2)LimUn=0 яғни 1>1/2>1/3 Lim1/n=0 демек қатар жинақты. Дегенмен мүшелерінің модульдері арқылы құралған қатар 1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)n-11/n+… гармоникалық қатар болады , ол жинақсыз қатар. Сондықтан берілген қатар шартты түрде жинақты.
53.Функционалдық қатар. Жинақталу облысы. Қатардың дербес және қосындысы.мысал Ан: Мүшелері Х-ке тәуелді. Функ-р болатын қатар. Un(Х) = U1(Х) +U2(Х)+... +Un(Х)+... (1) Функ-дық қатар д.а. Un(Х) функ қатардың жалпы мүшесі д.а. Егер Х-ке белг бір мән Х0 бретін болсақ онда мына түрдегі яғни жинақтыда мүмкін жинақсызда болатын сандық қатарды ала аламыз. U1(Х) +U2(Х)+... +Un(Х)+... (2) Функ-дық қатардың жинақталу обл-ға қатардың қосындысы. Функ-дық қатардың жинақты болатын аргумент Х-тің сандық мәндерінің жиының оның жинақталу обл. Функ-дық қатардың жинақталу обл-ға қатардың қосындысы S= S(Х) болады. S(Х) =Lim Sn(х) Sn(х) = U1(Х) +U2(Х)+... +Un(Х)+... дербес қосындысы д.а. Мыс: қатардың Х n жинақталу обл-н табайық Берілген қатар бөлімі g=x болғандықтан геом-қ прогреия қатар болады .
54.Бір қалыпты жинақтылықтың Весгерштрас белгісі.мысал). Теор; Егер функционалдық қатар Un(Х) (а,б) кесіндісінде жинақты болатын сандық аn қатармен маниарланатын болса, онда ол осы кесіндіде бірқалыпты жинақты болады. Мыс; 1) қатар 1/n2 + х2 барлық сан өсінде бірқалыпты жинақты болады ал 1/n2 жинақты қатар 2) қатар хn/n3 (-1,1) кесіндісінде бірқалыпты жинақты себебі |X|<=1 орындалады ал 1/n2 жинақты қатар.
55.Қандай шарт орындалғанда функционалдық қатар сандық қатармен мажорланады.мысал Егер [а,b] кесіндісінде кез-келген n және барлық кесіндідегі x үшін мына теңсіздік аn орындалатын болса, онда осы кесіндіде функционалдық қатар мажорланады деп аталады