1.Алғашқы функция және анықталмаған интеграл, оның негізгі қасиеттері?
Егер
кесіндісінің барлық нүктелерінде мына
тендік орындалатын боса,
(x)=f(x)
онда
(x)
f(x) фун-ң
кесіндегі алғашқы
функциясы
д.а. Мысал; f(-x)-F(x)-? Алғашқы ф-ң анықтамасы
бойынша мына функция F(x)=
,f(x)=
кіші функцияның алғашқы функциясы
болады. f(x)=(F(x)
=(
=
=
.
Ескерту:
Егер f(x)=
ф-сы үшін алғашқы ф-я бар болатын боса,
онда алғашқы функция жалғыз болмайды.
Мысал: 1) F(x)=
2)F(x)=
+2,
(x)=
+0=
,F(x)=
-7,
=
-0=
Сонымен жалпы түрде алғашқы фунецияны
мына түрде жаза аламыз; F(x)=
+c-тұрақты
сан.Анықтама: егер
F(x) ф-сы, f(x) ф-ң алғашқы ф-сы болатын боса,
онда мына түрдегі өрнек F(x)+c
өрнекті
ф-я анықталмаған интегралы д.а
dx=F(x)+C
белісі f(x)-
,
f(x)dx-
стындағы
өрнек, х-ф-я айнымалысы. Негізгі
қасиеттері: 1) Анықталмаған
интеграл туындысы
астындағы ф-ға тең. (
)dx
=(F(x)+c
=
(x)+0=f(x).
2)Анықталмаған
ың
диф-лы
астындағы
өрнекке тең d(
(x)dx)=f(x)dx
яғни d(
(x)dx)=(
(x)dx
dx=f(x)dx.
3) Қайсыбір ф-я диф-лы
лы
сол ф-ға қосылған тұрақтыға тең
(F(x))=F(x)+C
бұл теңдіктің шындығына көз жеткізу
үшін, теңдіктің 2 жағын бірдей диф-у
керек. 4)
(x)dx=F(x)+C
5)
f(x)dx=k
(x)dx
k=const 6)
dx=
(x)dx
dx
2.Анықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру тәсілі (дәлелдеу)
Айталық
(x)dx
анықталмаған
ң
бірдей алғашқы ф-сын табу қиынға соқсын,
бірақта ал
ң
бар болатындығы бізге белгілі болсын.
Бұл жағдайда
өрнекте
айнымалыны ауыстырамыз. Ескерту;
дың
соңында t-бойынша алынған
нәтижесі х арқылы өрнектеліп жазылады.
Дәлелдеу; Шындығында айталық F(x)-f(x) ф-ң
алғашқы ф-сы болсын, яғни
(x)=f(x).
Сонда F(
(t))
ф-сы мына ф-ң алғашқы ф-сы болады.
(
)dx
=(F(x)+c
=
(x)+0=f(x)
формуланы анықталмағанда
да
айнымалыны ауыстыру формуласы д.а.
Ескерту; Кейбір
жағдайында айнымалыны ауыстыру мына
түрде t=f(x) болғаны ыңғайлы болады. Мысал
үшін, егер
dx-?
онда f(x)=t
(x)dx=dt
болады. Сонда
=
=ln
+c=f(f(x))+c.
Мысал
=
=
=ln
+c=ln
+c
3.Анықталмаған интегралды бөліктен интегралдау тәсілі (мысал келтір)
Айталық
U=U(x),
V=V(x)
-
екі ф-ны диф-цал ф-я босын. Екі ф-ң
көбйтіндісінің диф-лы, мына формулаламен
есептеледі; d(U
V)=udv+vdu
түріңдегі теңдіктің 2 жағын бірдей
интегралдацық онда
(U
v)=
duv+vdu)=
dv+
du.
Сонда;
uv=
dv+
du
н\е
dv=uv
du
4.Квадрат
үш мүшелігі бар функцияның интегралы
Мына
түрдегі
интегралды
қарастырайық. Алдын ала бөлшектің
бөліміндегі авадрат үшмүшелікті
түрлендірейік; a
+bx+c=a(
+
)=a(
+
x+(
+
-(
a
=a
Мысалж;
=
=
=
=
=
arctg
+c=
arctg
+c
5.
Квадрат үш мүшелігі бар функцияның
интегралы
dx
dx
түріндегі
ды
қарастырайық. инг астынғы
өрнекті тепе-теңдік жағдайына түрлендіреміз
dx=
dx=
=
-
=ln
+c=
ln
+c
(B-
)
=(B-
)-
Р1 мен Р2 табылған мәндерін орындарына қойып I2 ны табамыз.
6.
Квадрат үш мүшелігі бар функцияның
интегралы
dx
Мына
түрдегі
интегралды
=
dx
қарастырайық 1-ші
жағдайда түрлендірудің көмегімен бұл
интеграл табылғн интегралға келтіреді.
=ln
+c,
a
0
н\е
.
=arcsin
+c,
a
7.
Квадрат үш мүшелігі бар функцияның
интегралы
dx
=
dx
түріндегі
интегралды 2-ші жағдайда қарастырылған
түрлендіру арқылы;
=
dx=
dx+(B-
=P+(B-
)
P=
dx=
=
dt=
2
+c=
+c Мысал;
=;
=
=
dx-5
=3
-5ln
+c
8.Анықтамалары (..................) Дұрыс және дұрыс емес бөлшектер. Оларды интегралдау (мысал келтір)
Анықтама;егер
бөлшектің алымының дәрежесі бөлімінің
жәрежесіне кіші боса, онда бөлшек дұрыс
бөлшек деп, ал кері жағдайда бөлшек
дұрысемес бөлшек д.а. Ескерту; Егер
бөлшек дұрыс емес бөлшек боса, онда
бөлшектің алымын бөліміне бөлу арқылы
көпмүшеліктерді бөлу ережесі бойынша,
берілген бөлшекті көпмүшеліктер мен
дұрысбөлшектің қосындысы түрінде
көрсетуімізге болады.
=M(x)
+
,
мұнда М(x)-көпмүшелік,
-
дұрыс бөлшек. Мысал Бізге дұрыс емес
бөлшек берілген
(m=4,n=2) Бөлшектің алымын бөліміне бөлеміз.