4.2. Качественное исследование структуры области

существования режимов

__ Зафиксируем некоторые значения модулей ЭДС Ей Е₂,..., Е_п и рассмотрим проекции области существования режимов на подпространства {Р} и {Q}. Размеры этих проекций мо­гут быть определены (или оценены) по соотношениям (2.6) или (2.7) в пространстве активных мощностей и соотноше­ниями (3.4) или (3.7) в пространстве реактивных мощностей. Эти размеры очень просто зависят от Ей Е₂, Е_п. При Е₂—..., Е_п-*»0 размеры областей уменьшаются до нуля. Таким образом, в каждом из подпространств {Р} и {Q} при изменении Ей Е₂, Е_п имеется возможность по­строить изменяющиеся многогранники, стягивающиеся к на­чалу координат по мере уменьшения одновременно всех мо­дулей ЭДС. Наоборот, по мере возрастания модулей ЭДС многогранники расширяются как в пространстве {Р}, так и в пространстве {Q}.

Рассмотрим односвязность получаемых таким образом проекций. Как в подпространстве {Р}, так и в подпростран­стве {Q} условия односвязности имеют одинаковый вид:

п

£m£»+i*/m,n+i> | 2 cos ip_k(^m)jfE_mE_ky_mk sin 2a_wft|, (4.3)

k-\

тп=1, 2p_hW=0, 1.

Последовательно рассмотрим геометрический смысл этих условий в подпространстве {Е} для различных п. Множест­во точек подпространства {£}, удовлетворяющих условиям (4.3), будем обозначать D_x.

1. Пусть система состоит из 3 станций (я=2). Условия (4.3) принимают вид

ЕгУ\ъ>Е\У\2\ыъ 2ai21>

Еъу₂ъ^~Е₂у\₂\$\п 2cxi21.

На рис. 4.1 указана оценка области односвязности в про­странстве {£_ь Е₂}. Оценка дает ограниченную область, при­мыкающую к началу координат.

2. Пусть система состоит из 4 станций (п=3). Условия (4.3) принимают вид

ЕаУ\а> |Е₂у₁₂1sin 2ai₂|—£₃//i₃|sin 2ai₃| |, Е*У2А>\Е\уп\ь\п 2а\₂\—Е_ъу_2Ъ\$т 2a₂₃| |, ЕаУм^ | E_xy_l31 sin 2ai₃1 —E₂y₂₃1 sin 2a₂₃1 |. (4.4)

Для исследования строения области значений Е_и Е₂, £₃, при которых эти условия выполняются, рассмотрим простей­шие свойства этих неравенств.

а) Пусть точка (Ей Е_2> Е₃)_ удовлетворяет всем этим не­равенствам, тогда и точка (tE\, tЕ₂, tE₃) для любого ^/^il тоже удовлетворяет этим неравенствам. Таким обра­зом, область значений (£_ь Е₂, Е₃), удовлетворяющих нера-

Рис. 4.1

Ез У 23 y_!ZjsinZcC_n]

венствам__(4.4), имеет звездообразное строение: если точка (Е\₉ Е_2у Е₃) принадлежит этой области, то и весь отрезок (0, 0, 0), (Ей Еъ ВзЬпринадлежит ей.

i6) Если точка (Ей Е₂, Е₃) области значений, удовлетво­ряющих неравенствам (3.4), такова, что хотя бы одна из правых частей этих неравелств отлична от нуля, то на луче t(Eu Еъ Е₃), где 0^i/< + oo, лишь конечный отрезок при­надлежит этой области.

Действительно, луч, полностью принадлежащий конусу К_Е и проходящий через точку М= (Е_и Е₂₎ Е₃), имеет в па­раметрической форме уравнения

E_x=iE_u

E₂=\tE₂, E₃=tE₃,

где O^/C-f-oo.

Если одна из правых частей неравенств (4.4) отлична от нуля при t= 1, то с возрастанием t она неограниченно растет (до +оо), и, следовательно, при определенных t это нера­венство нарушается, т. е. на луче за точкой М_пр неравенства (4.4) нарушаются (рис. 4.2).

в) Если существует точка М°=(£^,₁°, E_2j Е₃°), в которой все правые части неравенств (4.4) обращаются в нуль, то

весь луч Е₂°, Е₃°), где 0^/< + °°> принадлежит обла­

сти, в которой удовлетворяются неравенства (4.4). В этом случае эта область неограниченная. Действительно, если при Е\ = Е\°, Е₂=Е₂°_У Е_ъ=Еъ все правые части неравенств (4.3) обращаются в нуль, то они обращаются в нуль и при лю­бых Ei=\tE°_y E₂ — tE₂°, Ez=tE₃°, так как общий множи­тель t может быть вынесен за знак модуля.

еА

Рес. 4.2

\J

„.Л

г) Как показано выше, для п—2 область D\ ограничена. Покажем, что для п—3 область D_{x (}при а_гкф§ всегда не ог­раничена. Для этого надо показать, что существует нетри­виальное решение системы однородных уравнений, состав­ленной из правых частей неравенств (4.4):

Е₂у₁₂1 sin 2<xi21 —^ЕзУis | sin 2ai₃1 = О,

—E_xij_{2I sin 2ai21 +E₃y₂₃ | sin 2a₂₃1 = 0, Eiyw I sin 2ai₃1 —^E₂ij₂₃1 sin 2a₂₃1 = 0.

Определитель этой системы имеет вид

0 r/i21sin 2ai21 —r/i₃|sin2ai3

—г/121 sin 2ai21 0 у_2ъ | sin 2ct2₃

i/i₃|sin 2oti31 —^231 sin 2a₂₃1 0

(4.5)

(4.6)

Этот определитель равен нулю, что можно про-верить не­посредственным вычислением. Однако здесь, имея в виду не­обходимость обобщения результатов на случай произвольного п_у удобно для доказательства использовать структурные свойства этого определителя.

На главной диагонали этого определителя стоят нули, симметричные относительно диагонали элементы равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, опре­делитель — кососимметричен. Но, как известно из теории оп­ределителей, кососимметрич'ный определитель нечетного по­рядка равен нулю (это доказательство имеет силу и для любых нечетных п и не требует непосредственного вычисле­ния определителей).

Итак, определитель системы (4.5) равен нулю. Поэтому эта однородная система имеет нетривиальное решение.

Таким образом, для п = 3 область D\_K где выполняются условия односвязности, есть неограниченная область.

д) Граница области D\ составлена из граней, соответст­вующих кускам плоскостей: плоскости 1, 2

±.E_Ay_u=E₂y_X2\sm 2«i2 E₄y2i> |£iyi2|si'n2ai2

|£i*/i₃|sin 2ai3

плоскости 3, 4

±E_Ay_2A = E_xy_l21 sin f2ai2 E_Ay\A>\E_&l2\sm 2ai2 |£iy₁₃|sin 2ai3

плоскости 5, 6

±E₄y_ZA=E_iyiz\sm 2ai3 E₄y ₁₄> |^z/121 sin 2ai2 ЕАУча^ \E1y12\sin 2ai2 плоскости 7, 8, 9

£_{1 =} 0, E₂= 0, £3 = 0.

Набор этих плоскостей определяет выпуклый многогран­ник. Легко заметить, что плоскости 1, 2 (плоскости 3, 4; 5, 6) попарно параллельны. Нормали к этим плоскостям име­ют вид

—ЕзУ\г	sin 2а1з|
—ЕЪУ2Ъ	sin 2агз |
—E2lj2 3	sin 2а2з|
—£З#23	sin 2агз|
—^13	sin 2сх131
~Е2У2 3	sin 2а2ъ\
—1^2^/23	sin 2а2»|
	sin 2ai31
—ЕъУ2Ъ	sin 2а2з|

ПЬ2— {о, г/121 sin 2«121, — ^/131 Sin 2ai₃|}, ^2,3= {—г/121sin 2ai21, 0, г/2з| sin 2a₂₃|}, ^5,6= {^/131 sin 2ai31, — #231 sin 2а₂з|, 0}.

Все эти нормали компланарны, так как определитель, со­ставленный из их проекций (это определитель (4.6)), равен нулю, т. е. все нормали лежат в одной плоскости. Эта плос­кость перпендикулярна прямой:

E\ = tE i°,

Е 2 = tE£,

E₃=tE£,

т. е. той самой прямой, на которой лежит луч, целиком при­надлежащий области D\. Из этого следует, что все плоско­сти 1, 2, 3, 4, 5, 6 .параллельны этому лучу.

Из полученного вытекает следующее свойство области D _ь в которой удовлетворяются условия односвязности (4.4),— свойство «е».

е) Область -в пространстве {£}, в котором выполняются условия односвязности (4.4), не ограничена. Ее основание составляют куски координатных плоскостей £i = 0, Е₂ = О, £3=0. Боковая поверхность границы области D\ образована системой граней, параллельных лучу

*(£Л Е₂°, £з°),

целиком принадлежащему этой области.

Замечания относительно структуры области D_{ для бо­лее высоких размерностей (п>3). Вывод о том, что граница области D_x составлена из кусков плоскостей, остается спра­ведливым для любых /г. Свойства «а»—«в» также оказыва­ются справедливыми для любых п. В случае четных п не работает доказательство неограниченности D_u приведенное в in. «г». Однако определитель может обратиться в нуль не вследствие его кососимметричности, а вследствие специаль­ных соотношений между проводимостями y_lk и a_lh. Поэтому •в общем случае дать классификацию здесь весьма трудно, вопрос подлежит дополнительному исследованию.

На основе проведенного анализа можно дать следующее качественное описание области существования режимов в пространстве полнйх мощностей {S}. При векторах {Е_ь Е₂,..., Е_п}, принадлежащих области D\CzK_E, проекции области су­ществования режимов на подпространства {Р} и {Q} одно- связны, ограничены, замкнуты. При возрастании модулей Е_г эти проекции увеличиваются по размерам и остаются одно- связными, если точка (Е_ь Е₂, ..., Е_п) не выходит за границу области Di. Наоборот, при уменьшении модулей Е_г проек­ции, уменьшаясь в размерах, стягиваются к точке.

Если точка (Е_и Е_ъ ..., Е_п) выходит за границу области D_u то проекции области существования режимов как в под­пространстве {Р}, так и в подпространстве {Q} начинают расслаиваться: появляются полоски, в которых в силу неод­носвязности проекции установившийся режим системы не су­ществует. Эти эффекты характеризуются такими соотноше­ниями между ЭДС Е_и Е₂, Е_п, при которых либо заметно различаются по величинам £_ty_mt|sin 2а_гт|, либо даже при близких значениях этих величин Е_гу_тг значительно превосхо­дят E_n+\y_min+u т. е. если связи «между узлами (1, 2, ..., п) значительнее их связей с балансирующим узлом.

Для иллюстрации рассмотрим трехмашинную систему (третья станция балансирующая). Пусть на первой станции заданы Р_ь Q_b на второй — Р₂ и Е₂. Уравнения установив­шегося режима системы имеют вид

Р\ = Е_х²у_п sin аи+Е\Е₂у\2 sin (61—б₂—ai₂) +

+Е_хЕ_ъу_хъ sin (61—щз), Р₂ = Е₂²у₂₂ sin a₂₂—E_xE₂y_l2 sin(6i~^,6₂+ai₂)+

+Е₂Е_гу_2Ъ sin(62—а₂з), (4.7)

Qi = Ei²y_n cos an—E\E₂y_l2 cos (61—6₂—ai₂) — —Е_хЕ_ъу\ъ cos (61 (Z13).

Область существования режимов будем исследовать в пространстве Р_ь Q_x, Р₂. При любых фиксированных б₂ и Е_х на плоскости Р_ь Qi при = [—я, я] получаем окруж­ность (за исключением случая Е₂у\₂=Е_ъу_хъ, когда окруж­ность может вырождаться в точку). Этот факт известен как круговая диаграмма мощностей. На плоскости Р_ь Р₂ обра­зом цикла = —я, я] также будет либо эллипс, либо отрезок прямой. Поэтому всегда этот цикл отображается в пространстве Р_ь Q_b Р₂ в виде эллипса (рис. 4.3).

Если на плоскости Р_ь Р₂ при фиксированном Е_х область неодносвязна, т. е. на плоскости получаем полоску, заметае­мую семейством эллипсов (рис. 4.4), то в пространстве по­лучим деформированную тороидальную поверхность, так как над каждым эллипсом в плоскости Р_ь Р₂ в направлении оси Q1 будет воспроизводиться окружность. Теперь можно про­вести качественный анализ области существования режимов в целом при учете изменения Е_х.

Если а_х2фО_у то при увеличении Е_х непременно будет про­исходить нарушение односвязности области на плоскости Р_ь

Р₂, даже если при малых Е_х область была односвязной. Ес­ли же односвязность исчезла при Е_х>Еи то и при больших Е\ односвязности не будет.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Рассмотрим точки пространства Р_ь Qь Рь которые будут получаться в соответствии с выражениями (4.7) при всевоз­можных 6ь б₂ и На рис. 4.5 показаны области существо­

вания режима на плоскости Р_ь Р₂ при различных фиксиро­ванных значениях Е\: 1— область при малых Ей когда усло­вия односвязности выполняются; 2—'Среднее значение Е_ь Е\>Еи здесь область неодносвязная (штриховой линией по­казана граница 'возникшей дырки); 3—большое значение Е\—< дырка, отмеченная штриховой линией, увеличивается вместе с увеличением размеров области.

Все множество режимов получается построением окруж­ностей над этими областями. При малых Е\ получаем по­верхность типа сферы со склеенными отдельными точками. При увеличении Е\ эта поверхность перерождается в дефор­мированную тороидальную поверхность, которая с ростом Е_{ перемещается и заметает точки, принадлежащие области су­ществования режима. Таким образом, в области существо­вания режимов рождаются полости, соответствующие неод- носвязным областям в проекции на плоскость Рь

Как видно из изложенного, топологическая структура об­ласти существования режимов в пространстве полных мощ­ностей оказывается весьма сложной.