2.3. Условия односвязности множества режимов электрической системы в пространстве активных мощностей

При исследовании множеств в пространствах, размерность которых больше 2, вопрос об односвязности может быть по­ставлен различным образом. Ниже рассматривается этот воп­рос с точки зрения стягиваемости замкнутого контура по мно­жеству режимов. Классы /контуров, которые непрерывной де­формацией по множеству могут быть переведены друг в дру­га, составляют так называемую фундаментальную группу [8]. Если любой контур может быть по множеству стянут к точке, то фундаментальная группа этого множества тривиальна и со­стоит из одного единичного элемента.

Ниже получены условия, при которых фундаментальная груша множества режимов системы тривиальна, т. е. любой замкнутый контур на множестве режимов может быть стянут по этому множеству в точку (гомотопен нулю). Тем самым, если (пользоваться терминологией [9] (с. 200), лолучены ус­ловия поверхностной односвязности области существования режимов.

Сначала рассмотрим 4-машинную систему:

Pi—Аi2 sin (61—б₂—a_i2) +А₁₃ sin (61—б₃—aj₃) + +А и sin'(6i—6₄—ам),

Р₂=А\2 sim(fi₂—61—(Х12) +^23 siri(6r-63—а₂з) +

+ ^24 Sin (62—'64—CX24) , Ръ=А_хъ sin (63—61—(X13) +^23 sin (S3—'6₂—a₂₃) + +Л₃₄ sin (63—64—'(Z34) > A_lk=E_lE_hy_lh1 A_n=A_hk=0, (2.8)

P% ' PIT ^Ex УXX Sin Gt]]j

и ft=11, 2, 3, 4 (четвертая станция балансирующая) и образы циклов

6i = /<= [—я, я], 62=const, 8₃ = const. (2.9)

Образы таких циклов имеют вид

Р\=\[А\2 cos(6₂+iai₂)+^i3 cos(6₃+ai₃)+^i4 cos ai₄]sini/-f-

+ [—Ai2 cos(6₂+ai₂)— Aiz sin(8₃+«i3)— An sin ai₄]cos

(2.10)

Р₂=— А\2 cos>(6₂—ai₂) - sin sin(S₂—/ai₂)cos >/+C₂,

P3——A13 cos(6₃—ai₃)sini/+i4₁₃ sin(6₃—<ai₃)cos >/+C₃,

где C₂, C₃ — постоянные, не -зависящие от t.

Это отображение будет отображением в отрезок прямой, если

а12 cos (б₂ + oti2> -Ь cos (5з 4- «13) 4- Лц cos 0^4

A,2 sin (6₂ -f cti₂) + Лз sin (63 + a₁₈) -f Л14 sin a_i4

cos (6₂ — «19) _ cos (63 — 0ti3)

sin (62 —oti₂) sin (63 — «13)

Эти равенства дают два уравнения для определения б₂, 63. Рассмотрим сначала более простое

cos (62 — «12) cos (6_а — агз)

sin (6₂ — a_l2) sin (б₃ — a_l3)

или

sin (б₂—'63—CX12+0C13) =0,

откуда получаем

б₂—63—ai2+ai3=^irt, &i = 0, ±1, ±2

б₃ = б₂—ai2+ai3+^iJt.

(Перейдем теперь .ко второму уравнению: sin (62—1012) [А\2 cos'(6₂+ai₂) +А₁₃ cos (83+сНз) +Л₁₄ cos <хм] =

= cos(62—(Х12) [А12 sin(62+СХ12) sin (63+013)+Лн sin a_H]

или

Л12 sin (—)2ai₂) +Л₁₃ sin (6₂— <83—a_i2—«13) + +Л_И sin(6₂—an—(Z12) =0. Учитывая, что S₂—iS₃=^iJt+ai₂—сиз, получим —Лi2 sin 2ai₂—Л13 sin (2ai₃+&ift) + +Л_И sin'(6₂i—\a\2—an) = C\

или

Лi4 sin(S₂—«12—an) =A ₁₂ sin 2ai₂+cos k\%'A\z sin 2ai₃. (2Л1) Это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда | Л12 sin 2ai₂+cos к\я-Л₁₃ sin 2a_]3|

Итак, получаем, что образы циклов типа 81 =—я, я], 6₂=const, 83 = const гомотопны нулю тогда и только тогда, когда

j12 sin 2ai₂+cos kiK-Aiz sin 2ai₃| (2.12)

Действительно, каждый <цикл вида (2.9) по множеству режимов может быть деформирован в цикл 62 = 62*, 63=62*— —iai2+ai3—^я, 61 =i/e[—я, я], где 62* есть решение уравне­ния (2.11). Но такой щикл отображается на отрезок прямой, т. е. гомотопен нулю. Следовательно, и исходный цикл гомо­топен нулю.

Перейдем к рассмотрению циклов вида

б₂=/е[—я, я], 61 = const, 63 = const.

Образы этих .циклов имеют вид

Р\=А 12 sin(61—iai₂) - cos t—A ₁₂ cos(61— ,ai₂)sin t-\-C 1,

P₂= — [A12 sin (61+012) +Л23 sin(6₂+a₂3)+^24 sin a₂4]cos /+

+ [A 12 cos (6i+lai2) +Л23 cos (63+CC23) +Л₂₄ cos a₂4] • sin /,

Рз = —А₂з sin(6₃—a₂3)cos t+A₂₃ cos (63— a₂3)sin /+C₂,

где Ci, C₂ — постоянные, не зависящие от Это отображение на отрезок прямой, если

Лхд cos (bi 4- Ofly) 4- An COS (63 -I- a_g3) -f- Л₂1 cos a_g4 __ Л _l2 sin (61 -f a_i2) + Л23 sin (6₃ + a₂₃) -f Л₂₄ sin a₂₄

cos (6_t — СГ12) cos (63 — a»₃)

sin (61 — oti₂) sin (63 — a_2s)

Из этих уравнений получаем

sin/(fii—63—а12+агз) =0>

61— '63— 1^2Я + а12—(Х23.

Второе уравнение можно .представить в виде Л₁₂ cos (61 + ai₂) 4- Л?₃ cos (б, -f of₂₃) -f A<& cos a?4 Л₁₂ sin (6j -f a_J2) -f Л03 sin (6₃ + a₂3) + Л_:4 sin a₂4

cos (6_t — а,г)

sin (6_X — otis)

A24 sin (61—iai2—(X24) +Л₂з sin(6i—6з--а12—(а2з) —

—*Л12 sin 2ai₂=0 или после подстановки значения 6i—6з = &2Я+1а12—сиз Л₂4 sin(6i—,ai2—ан) =A_l2 sin 2ai2+cos &₂я-Л₂₃ sin 2а₂з. Это уравнение разрешимо, если

| Л₁₂ sin 2ai2+cos ^₂я-Л₂₃ sin 2а₂з \ ^Л₂4-

Итак, если

\А\2 Sin 2ai2+COS^lfe₂tt-/l23 ^Sin 2СХ₂3 | ^^24,

то образы циклов

const, 63 = const, 62=fe[—л]

могут быть деформированы в отрезок прямой, т. е. все ука­занные циклы гомотопны нулю.

Наконец, рассмотрим циклы третьего типа:

6j = const, 62= const, S3 — tEE [—ОТ, ft] .

Их образы имеют вид

P_l==Ci-\-A\₃ sin(61—лыз)cos ^—Л 1з cos(6i—ai₃) - sin t,

^2+^23 sin (62—а2з) COS Л₂₃ COS (62—а₂з) • sin f, ^3=⁽[^34 COS a₃4+^23 cos!(6₂+a₂3) +^13 cos(Si+ai₃) ]sin t— — [A_M sin a₃₄+^₂₃ sin(6₂+a₂₃) +A_{3 sin(6i+ai₃)]cos /, где Си C2 — постоянные, не зависящие от

Это отображение на отрезок 'прямой, если (коэффициенты при sin t и cos t 'пропорциональны. Первое соотношение

Sin (61 — СУ13) __ COS (6) —

sin (6₂ — а₂з) cos (6₂ — of23)

дает

sin/(6i—62— ai₃+a₂₃) =0

или

/6j—б2 = й₃я+а!₃—а2₃. Второе соотношение дает [Л₃₄ cos a₃4+^23 cos(6₂+a₂3)+^i3 co3(6i+ai₃)]sin(6i—ai₃) =

= [Л₃₄ sin а₃₄+Л₂₃ sin (6₂+а₂з) + +Л₁₃ sin (6i + ai₃) ] cos (61—сиз) • Преобразуя это уравнение, будем иметь

Л₃₄ sin (61— 1СС13—ia₃₄) +А₂г sin (61—б₂—ai₃—a₂₃) +

+Л₁₃ sin(—2ai₃) =0. Подставив сюда 6i—⁽б2=^зл;+а1з—агз, получим Л₄₃ sin (61—ai3—а₃₄) =A_i3 sin 2ai₃+cos k_zn-Л₂₃ sin 2a₂₃,

или

Л₃₄ sin(6i—(X13—KX34) =Ai3 sin 2ai₃+cos к₃л-А_2г sin 2а₂з

Итак, и в этом случае получаем, что образы циклов

б_{1 =} const, 62=const, 63—/<=[—я, я] гомотопны нулю, если

|Л₁₃ sin 2cti3+cos k₃n-A₂₃ sin 2а₂₃|

Объединяя все полученные результаты и применяя теоре­му о порождении гомоморфизма трупп щ при (непрерывном отображении, легко доказать следующую теорему.

Теорема 2.3. Если существуют такие целые k\, k₂, k3, что одновременно выполняются неравенства

| Л12 sin 2ai2+cos kin-A^ sin 2ai31 ^Лн,

|Л12 Sin 2ai2+cos k₂n-A₂₃ sin 2а₂з| ^A₂₄,

|Л₁₃ sin 2ai3+cos hn-A₂₃ sin 2а₂з| (2.13)

то фундаментальная группа множества режимов ЭЭС, состо­ящей из четырех станций (четвертая станция балансирую­щая), тривиальна, т. е. все циклы на множестве режимов системы могут быть стянуты в точку по этому множеству (томотапны нулю).

Доказательство. Отображение (2.8) есть непрерывное отображение. Прообраз имеет фундаментальную группу типа ZXZXZ. Циклические образующие этой группы:

1. —я, я], S₂=const, б₃ —const;

2. 62 = [—я, я], д\ = const, 6₃ = const;

3. 63 = /ее[—я, я], 8i = const, S2 = const.

Каждый прообраз отображается в единичный элемент фундаментальной группы множества режимов, так как выше показано, что все такие контуры отображаются в контуры, гомотопные нулю. Итак, фундаментальная группа множества режимов будет иметь вид

Я1 = 1Х1Х1,

т. е. состоит из одного единичного элемента, что и требова­лось доказать.

Выше рассмотрена система, состоящая из 4 станций. Пе­рейдем к системе, содержащей произвольное число станций.

Уравнения установившегося режима имеют вид

п

Р_г= 2 А_хк sin (б — 8_k— а_гк) +A_t„i+i sift (6»—a_t,_n+i),

k-\

ь¹ 1. у 2 у • • • у fi/ •

Рассмотрим циклы вида

6_те=/е[|-ня, я], б/ = const, (1фт).

Здесь т фиксировано. В дальнейшем т будет меняться от 1 до я, чтобы рассмотреть все возможные циклы на гипер­торе

{ —i=l, 2,..., п.

Подставим 8m, в уравнения системы

Рг= С_г+А_гт sin (6г t a_tm) = С_г+А_гт sin (8_г—а_гт) cos rf—

—А_гт cos (6,—а_гт)-sin t при хфт, P_m=sin t[LA_mh cos(6_A+a_mft) +Л_т,_п+1 cos a_m,n+i] —

/г

—cos t[LA_mh sin (6_ft+a_mft) +Л m>n+1

•sin a_m,n+i]

k

при i=m,

где С_г — постоянные, не зависящие от t.

Эти выражения дают отображение на отрезки прямой в пространстве Р_ь Р₂, •••> -Рп, если коэффициенты при sin f, cos t пропорциональны:

sin(5i — sin(6₂ —a_9m) sin (б_/7?__г — m)j

cos (h - a,cos (6₂ - a_2m) '" cos (6_m_ ₄ — a_m__{1( m})

2 Лт* sin (6* -f -I- A_{nit n+l} sin a_{Wf л+1} a

X cos + a_mk) -j- Л_{ш< n+1} cos

/71, /l-j-1

k

— ""^tt?n+i,ffl) __ _ sin — a_nm)

^cos (⁶m + l - °Wl, m) ' ^cos —

Пусть /тг=^1 (для определенности). Тогда из рассмотрения (п—»1) уравнений легко получить

6l 82 —Р2Я + СХЫ а 2т,

61—163=Рзя+ajm—а_3т,

61 бт~1 Рт-]Я-)-а1т '<Х_т-Ьпи

где 3-880

6l 6_W+1 = Pm-f 1 Я~|~" CClm (Хт+Ьт,

Si 6_П = РпЯ + aim Юп,т,

p_ft=0; ±1; ±2,..., k=2, 3,п.

Последнее уравнение, вытекающее из приведенных про­порций,

2 A_mk sin (б* + a_km) + А_{т% я+1} sin а_{т% д+1} sin (61 — а_1т) __

cos (б_х — a_im) ^{cos + +} ^ m, л-f 1 ^{cos a}m, /t-fl

ft

запишем в виде

2A_mk[s\n (6_fe+a_mfe) cos (61—ai«) —cos(6_ft+a_wft)sin (61—ai_m) ] + k

+Si4_m,_n+j [sina_m,_n+i • cos (61—vaj_m) —<

k

—cos a_mjn+i • sin (61—aim) ] = 0,

что преобразуется к следующему:

п

2 A_mhsin («бj —»6_ft—»aim—a_fem) +

+ Л_т,_п+1 sin(6l aim—Отэп+l) =0.

Подставив сюда полученные значения для б 1—6_А, кфт, будем иметь

п

2 A_mh Sin (р_Ая—2a_ftm) +A_mtn+1 sin(61—ai«—«_m,n+i) =0,

p_h=0; ±1.

Это уравнение имеет решение относительно 61 тогда и толь­ко тогда, когда

п

Л_т,_п+1 2 cos p_hn-A_mh-sin

Итак, 'получаем теорему 2.4.

Теорема 2.4. Если существует набор целых чисел p_ft(^m)=0, 1, А=1, 2, ..., /г, таких, что одновременно удовлетво­ряются m неравенств

п

Л_т,_п+2 cos р_А(^т)я• Лsin 2a_ftm|, (2.14)

Р*<^т)=0, 1,

т= 1, 2,..., л,

то фундаментальная группа области существования режимов ЭЭС тривиальна, т. е. любой замкнутый контур на множест­ве режимов может быть стянут то этому множеству в точку.

Доказательство отирается на теорему о порождении го­моморфизма фундаментальных групп при непрерывном отоб­ражении пространств. Рассуждения полностью повторяют рассуждения теоремы с той только разницей, что вместо трех «циклических подгрупп на образе надо рассмотреть п подгрупп. Каждая после отображений оказывается гомотоп­ной нулю, откуда и следует, что образ будет иметь тривиаль­ную фундаментальную группу.

Соотношение (2.14) можно записать в виде

п

A-mm+l | 2 (zizAmk )sin 2a_ftm|. (2.15)

Следствие. Если все a_ftm=0; кфт\ k, m=»l, 2, ..., п> то множество режимов системы имеет тривиальную фундамен­тальную группу. Действительно, в правой части неравенства в этом случае стоят нули, и оно удовлетворяется.

Из соотношения (2.15) видно, что при достаточно малых a_hm это неравенство удовлетворяется, если A_m,_n+i не исчеза- юще малы. На основе такого качественного анализа можно сделать вывод о том, что если связи с балансирующей стан­цией достаточно сильны, а |a_ftw| невелики, то любой контур на множестве режимов может быть стянут к точке.

Замечание. Для я—2 условия теоремы 2.4 принимают вид

Ai3^4i₂|sin 2ai21, ^23^^23 | Sill 2(X23 I.

Они несколько жестче, чем условия теоремы 5 из работы [6], где требуется выполнение хотя бы одного из приведен­ных неравенств. Это связано с тем, что в [6] проведен был глубокий непосредственный анализ отображения простран­ства фазовых углов в пространство активных мощностей. По-видимому, возможны уточнения условий односвязности и для п>2. Однако их вывод настолько громоздок, что при­ведение его выходит за рамки данной работы.