2.2. Оценка области существования режима

В развитие п 5 § 2.1 рассмотрим линейные формы от

Л-f 1

Р_гэ= 2 A_lhsin(6_t—бь—a_lft)> i= 1, 2,n, k=i

где

Ahk=An=Q, Aik—EiEkyihi k.

Обозначим

n

Lq (Я, P) = 2 Я_гР_гэ.

/-1

Здесь в отличие от п. 5 вместо Р_г подставляют Р_гэ, опус­кая постоянные слагаемые, что соответствует переносу нача­ла координат. Вектор Л= (Яь ta, К) можно считать еди-

п

ничным, т. е. 2Я_г²=1, что всегда можно сделать <нормирова-

i=i

нием. При этом Х_г имеют смысл направляющих косинусов нормали к гиперплоскости

п

2 КРгэ—const.

г-1

Оценим наибольшее и наименьшее значения функции L₀(K, Р). Для удобства введем величину Я_п+ь 'положив, что X_n+i = 0. Тогда

л-fl л-М

L₀ (Я, Р) = 2 2 КАгкsin (б8*—о*) =

= 2 (Яг—Л_А) sin (6_г—б*) cos a,—

t, k

i<k

—>(M-A*) cos (6,—<6_ft) sin a_Ift] = = 2 V—2U*cos 2a*. sin (6<—6*—6_A),

г, k i+k

ЦК У) = с, 16

г~т 92

1—?—Г"Т~ 95

Kk

Теперь легко доказать следующую теорему. Теорема 21. Признак неразрешимости системы урав­нений (2.1). Если существует ненулевой вектор Я, такой, что выполняется хотя бы одно из неравенств

Я1Р1Э+Я2Р2Э+ +КРп»>М (X), (2.4)

hPu+hP_2Q+ ... +КР_пэ<-М М, (2.5)

где

то система уравнений (2.1) не имеет действительных реше­ний, т. е. при заданных значениях параметров и активных

мощностей не существует установившегося режима рассмат­риваемой электроэнергетической системы.

Доказательство. Пусть удовлетворяется, например, нера­венство (2.4) при определенных значениях Я₂, •••> К- Тогда

п

+4" ••• +А/_ПР_П= 2 к{Р{₉-{-

/ = 1

п п

+ 2 %_{Е?у_нsin аи>М(Х) + 2 к_{Е₍²(/цsin а<,> i=i 1

>sup L{X, Р).

к

Согласно п. 5 точка Р_ь Р₂, Р_п находится в полупрост­ранстве, где нет точек, принадлежащих области существова­ния режима. Следовательно, при таких значениях мощностей уравнения (2.1) неразрешимы.

На основе теоремы 2.1 можно построить в пространстве Р_ь Р₂, ..., Р_п выпуклый многогранник, содержащий область существования режима системы. Пусть ..., —сово­

купность неколлинеарных векторов:

а М_{=М(А(^г')) —значения, посчитанные по выражению (2.2).

Теорема 2.2. Область существования режима системы (2.1) принадлежит внутренности многогранника, задаваемо­го неравенствами

-M₁^^l(¹)P_l0 + Wl)P₂3+ ... +К^Рпэ^М_и

-Ж₂^^(²)Р_ь+Я₂(²)Р_2э+ ... +Я_п(2)Р_пэ^М₂,

—^ я₁(-)>_1э'-|-Я₂(-)Р_2э+ ... ^ м*_п. (2.6)

Доказательство. Из теории линейного программирования известно, что множество точек пространства Р_ь Р₂, ..., Р_п, удовлетворяющих неравенствам (2.6), есть выпуклый много­гранник. Внешность этого многогранника есть множество то­чек Рь Р₂, Рп, в которых нарушается хотя бы одно из приведенных неравенств. Возьмем какую-нибудь из внешних точек, тогда нарушается по крайней мере одно из неравенств. Но, согласно теореме 2.1, для таких Р_ь Р₂, ..., Р_п уравнения (2.1) неразрешимы. Следовательно, все точки области суще­ствования режима есть внутренние точки многогранника. Теорема доказана.

Замечание 1. Если векторы линейно неза­

висимы, то соотношения (2.6) определяют замкнутый много­гранник. При г<п многогранник будет неограничен. Но и при таких г соотношения (2.6) могут быть полезны для оцен­ки области с>ществования в одном из октантов системы ко­ординат. При этом снижается и необходимое количество вы­числений.

Замечание 2. Постоянные M_t9 входящие в неравенства (2.6), «получены в результате оценки функций L₀ при пред-

									к
					6
					4
					3		V
					Ъ		Л
					1	/	f л
								\
-5	\ t	r-i	7 _	f		;	2 j	Л	5
					-1
					-ъ			1
					-з 1. -
					ч
					j
							п/

Рис 2 2

положении, что все S_hm независимы. Это дает завышенное значение постоянных МЕсли найти точные значения supL₀, inf Lq, то можно вместо неравенств (2.6) рассматривать не­равенства

inf Lq(U^x\ PJ^SA^P^supLoftW, Р),

i

inf L₀(}S^h\ P) <ZW*>P,B<sup P). (2.7)

i

Многогранник, определяемый этими неравенствами, со­держится в многограннике (2.6) и потому более точно ап­проксимирует область существования режима. Конечно, пост­роение неравенства (2.7) — значительно более трудоемкая операция.

Пример. Рассмотрим систему

Р_г =2,45 sin (61—62) +1,65 sin 6_Ь Р₂ = — 2,45 sin(6j—62)+4,1 sin 6₂.

На рис. 2.2 показана граница области существования ре­жимов этой системы (кривая построенная по результатам численного расчета). Для построения многогранника, содер­жащего эту область, зададимся следующими тремя вектора­ми: ^>=.(1; 0); Я⁽²⁾=|(0; 1); (1/]/2"_; 1/]/2).

В рассматриваемом случае

1 —I -Ь-Л131 Xi0>—14-Лаз | я₂<^в>—Яз<^ж> |.

Учитывая, что Яз⁽⁷⁾=0, получаем

^1=Л₁₂+Л₁₃, М₂=Л1₂+Л₂₃, Л1_с-= (Л₁₃+Л₂₃)/У2.

При -подстановке соответствующих значений параметров будем иметь

Mi = 4,1, М₂ = 6,55,

«Многогранник», содержащий область существования ре­жима, имеет вид

—6,55^Р₂<6,55, —5,75^Pi+P₂<5,75.

Соответствующие построения приведены на рис. 2.2, из которого видно, что полученные неравенства неплохо аппрок­симируют область режимов. Уточнение возможно путем уве­личения числа -векторов № и соответствующих им нера­венств, а также посредством уточнения оценок наибольших и наименьших значений линейных (комбинаций активных мощностей на множестве режимов.

Таким образом, посредством определения наибольших и наименьших значений линейных комбинаций активных мощ­ностей или оценки этих значений можно получить выпуклый многогранник, содержащий область существования режима, без непосредственного расчета самого режима.

Указанные построения, давая приближение к границе об­ласти существования режима, могут быть применены для оценки условий разрешимости уравнений установившегося ре­жима и запасов мощности.