2. Область существования режима сложной электрической системы в пространстве активных мощностей

В данной тлаве исследуется система уравнений

л+1

Р_х=Е?1)нsin a_it+2 £^,_i£^,_ft^sin(6_i—S_ft—i= 1, 2, ... n, (2.1)

ki=i

описывающая самоустанавливающиеся режимы ЭЭС [1], со­держащей n-f-1 электростанций^I в предположении, что ЭДС генераторов постоянны, нагрузки представлены постоянными сопротивлениями, частота системы неизменна. Задача главы: оценка области таких режимов в целом, определение ее гра­ницы, построение простых аппроксимирующих выражений, позволяющих без расчета утяжеленных режимов оценить границу области существования режима.

2.1. Основные положения

Область существования режима системы (2.1) есть мно­жество таких Р_ь Р₂, ..., Р_п, при которых эта система имеет хотя (бы одно решение для углов б_ь 6₂, б_п. Общие и содер­жательные соотношения можно получить на основе следую­щего подхода. Будем рассматривать (2.1) 'как отображение F пространства углов б_ь 62, 6_П в пространство мощностей: каждой точке <6ь б₂, б_п сопоставим точку Р_ь Р₂, ..., Р_п, та­кую, что координаты Р_ь Р₂, ..., Р_п получаются как результат подстановки 6_Ь 6₂, ..., 6_П в выражения (2.1). Очевидно, что нет необходимости рассматривать всевозможные значения уг­лов «бь 6₂, ..., б_п, так как 8* входят в (2.1) как аргументы под знаком синуса. Следовательно, все значения мощностей, т. е. множество режимов, есть образ, получаемый -при отобра­жении множества

К⁼ {—ift^Si^jr; —я^бг^я; ...; —

являющегося гиперкубом в пространстве фазовых углов. Так как функции, посредством которых осуществляется отобра­жение, непрерывны и даже аналитичны, то в соответствии с теоремами математического анализа [3, 4] можно получить ряд утверждений, характеризующих структуру множества режимов системы (2.1) :

1. Область существования режимов системы (2.1) есть ограниченное замкнутое множество.

2. Область существования режимов системы (2.1) в пространстве активных мощностей есть связное множество, т. е. любые две точки этого множества можно соединить не­прерывной кривой, целиком содержащейся в множестве ре­жимов.

3. Любая непрерывная функция активных мощностей и фазовых углов на множестве режимов достигает наибольше­го и наименьшего значений.

4. В соответствии с п. 3 мощности Р_{ на множестве режи­мов, достигают наибольшего и наименьших значений. Наи­большее значение Р* можно найти непосредственно:

sup Рг=Е?у_иsin au+ 2 EiE_hy_ik.

ki-4

Аналогично для наименьшего значения имеем

inf Р_{=Е?уцsin а«— 2 EiE_hy_ik.

Следовательно, в пространстве активных мощностей че­рез соответствующие координаты на осях Р_{ проходят гипер­плоскости, касающиеся области существования режимов: вся область существования режимов заключена между гипер­плоскостями

Р_{=Е?уцьт агг+ 2 EiE_ky_ik,

Р_{=Е?уцБ\п аи—'2 EiE_ky_ih,

ш

г=1, 2,..., п.

Эти гиперплоскости задают параллелепипед, содержащий об­ласть существования режимов и касающийся ее в соответст­вующих точках.

делитель /= det

В соответствии с п. 3 линейная комбинация мощностей^IL (Я, Р) = 2 KtP_i9

i = 1

где %i — некоторые действительные коэффициенты, на мно­жестве режимов системы достигает наибольшего и наимень­шего значений. Следовательно, существует точка, в которой

dL

все (Производные обращаются в нуль:

дб i

Ац-^- + К + ... + — 0> i — 2, ... , п.

до i д б/ д б/

Рассматривая эту систему уравнений как линейную одно­родную систему относительно Х₂, •••> К, заключаем, что поскольку система имеет нетривиальное решение, то ее опре-

dPi ~

—- в таких точках равен нулю. Этот оп- d%_k

ределитель называют якобианом уравнений (2.1).

Итак, 'получено: множество точек, в которых линейные формы активных мощностей станций достигают экстремаль­ных значений, содержится в множестве, для которого яко­биан равен нулю, а гиперплоскости

2 hPi=M(X)₉ 2hiPi==m(l)_f t=i t=i

где М(%) =sup 2А,_г-Р_г(6); m=inf 2Я_гР_г(б), касаются области

К i К i

существования режимов. Точнее, в полупространствах

2 hPi>M{K), 2 %гРг<т(%)

i=l 1=1

нет точек, принадлежащих области существования режимов.

Из этого -положения вытекают простой способ построения границы области существования режима, состоящий в опре­делении -наименьших и -наибольших значений линейных форм L(X, Р), а также метод оценки области, приведенный ниже.

5. Граница области существования режима содержится в множестве, для которого /=0, а именно все точки границы удовлетворяют уравнению /=0. Действительно, из теоремы о неявной функции [4] следует, что точка (Р_ь Р₂, Р_п), принадлежащая области существования режимов, в которой

6. 1ФО, является внутренней точ-кой этой области. Следователь­но, граница области существования режимов содержится в множестве, для которого /=0 (но в общем случае не сов­падает с этим множеством). Близкое, но не совпадающее с этим положение имеется в [2].

7. Топологическая структура 'прообраза множества суще­ствования режимов. Легко заметить, что в силу 'периодично­сти синуса на противоположных гранях гиперкуба К в про­странстве фазовых углов значения мощностей Р_ь Р₂, •••> Рп совладают. Поэтому (противоположные грани К можно отож­дествить, склеить. Это означает, что пространство зависимых аргументов (прообраз множества существования режимов) есть гапертор. Дадим этому геометрическую интерпретацию для п=2 (три станции). В пространстве х, у, z рассмотрим тор (рис. 2.1). Каждая точка М на поверхности тора одно­

г

Рж. 2.1

значно определяется координатами 612 и 623, где 612 — угол поворота вертикального сечения (сечения тора по меридиа­ну), а 623 — угол отсчета точки по окружности сечения (6₂з постоянен на широтах тора). Таким образом, система (2.1) может рассматриваться как отображение поверхности тора в пространство мощностей. Далее это эффективно использу­ется в п. 8 и при анализе односвязности области существова­ния режимов.

8. Характеристика экстремальных точек функций, зави­сящих от активных мощностей и фазовых углов. Топологиче­ская структура прообраза множества режимов системы (2.1) позволяет установить нетривиальную связь между числом и родом критических точек функций, зависящих от активных мощностей и фазовых углов. Здесь ограничимся рассмотре­нием функций, для которых второй дифференциал существу­ет и дает невырожденную квадратичную форму. Тогда в со­ответствии с формулой Кронекера [5] получаем, что число максимумов М, число минимумов т и число седловых точек S такой функции связано соотношением S—т—M=N_y где N — эйлерова характеристика поверхности (в нашем случае тора). Для тора N=О, поэтому 'получаем, что M-\-m=S, т.е. для любой функции из указанного класса число максимумов и минимумов равно числу седловых точек.

Построение линий Pi «а плоскости 612, 623 для трехмашин- ной схемы показало, что Р\ имеет ровно от,ин максимум, один минимум и две седловые точки. Это дает полную картину линий уровня Р1 и исчерпывающую характеристику возмож­ных путей утяжеления режима системы по взаимным углам.

Аналогичные утверждения имеют место и для более вы­соких размерностей и более широкого класса функций, чем рассмотренные выше. Они выражаются через так называемые числа Бетти. Изложение их выходит за рамки данной ра­боты.

9. При ои=0 область существования режимов в прост­ранстве мощностей имеет центр симметрии, координаты ко­торого равны

Р_г=Е_г²у_пsinotu, i— 1, 2,..., п.

Это утверждение легко проверить непосредственной под­становкой в правые части (2.1) вместо 61, 62, б_п значе­ний —бь —62, —б_п и учетом того, что синусы — нечетные функции (пример см. ниже, рис. 2.2).