1.2. Теоремы о выделении в (пространстве параметров области существования решений нелинейной системы

уравнений

Ниже показано, что выделение области существования установившихся режимов в пространстве активных и реактивных мощностей можно осуществить на основе одного достаточно общего подхода, который, изменяясь в зависимости от вида уравнений и дополнительных условий, накладываемых на область изменения переменных, тем не менее сохраняет общую структуру, единство подхода. Этот подход, обладающий достаточно большой универсальностью, удобно изложить в общем, абстрактном виде. Удобство связано прежде всего с тем, что, ссылаясь на полученные ниже тео­ремы, можно сократить рассуждения, приводимые в каждом отдельном случае. Вместе с этим формулировка основных положений в абстрактном виде целесообразна для выявле­ния сути предлагаемого метода и раскрывает его широкие возможности для разнообразных модификаций и уточнений.

Пусть рассматривается система нелинейных уравнений

(1.1)

где — параметры, входящие в систему;

— n-мерный вектор параметров, принимающих всевозможные вещественные значения: ;

— искомые неизвестные;

— n-мерный вектор переменных, принимающий значения из некоторого ограниченного замкнутого множества ;

—функции, определенные на Q и непрерывные на этом множестве.

Как следует из изложенного, нами рассматривается спе­циальная система уравнений, специфика которой заключа­ется в том, что параметры входят в эту систему весьма прос­тым образом, т. е. выражаются как явные функции искомых переменных. Это обстоятельство, конечно, снижает общность предлагаемого подхода, но для наших целей — для анализа установившихся режимов электрической системы — харак­терны именно такие условия.

Предположение о непрерывности функций по-видимому, не является ограничительным. В отдельных случаях можно рассчитывать и на более хорошие функции: например, можно считать аналитическими.

Наконец, предположение о том, что , где — огра­ниченное замкнутое множество, несомненно, сильное ограничение. В ряде случаев для выполнения этого ограничения необходимо выходить за рамки чисто аналитического рассмотрения и учитывать технические соображения. Например, если X есть вектор, характеризующий физическое состояние технической системы, то предположение о том, что множество X ограничено, соответствует тому, что значения переменных объектов (напряжения, мощности, токи) не могут быть сколь угодно большими. Такие соображения, конечно, оправданы.

Задача данного параграфа изложить методы оценки области значений параметров У в пространстве R_ny при кото­рых система (1.1) имеет по крайней мере одно решение. Та­кую область обозначим буквой S_y\

S_y={ye=/?»:3*e=Q, f_t(X)=y_ti i=. 1, 2, ..., n}.

Как следует из определения S_yy это множество есть образ Q, получаемый с помощью отображения F, задаваемого функ­циями f\(X), /2(Я), f_n(X) (рис. 1.1). Так как эти функции

Рис. 1.1

непрерывны, то образ ограниченного замкнутого множества, т. е. S_v, также будет ограниченным замкнутым множеством^I. И поэтому задача его определения существенно упрощается. Бели Q — связное множество, то и S_y тоже будет связным множеством.

Наиболее простые оценки множества S_y могут быть полу­чены из следующих соображений.

Рассмотрим sup/_t(x_b ); он достигается на мно-

2

жестве Q и равен наибольшему значению fi(X). Обозначим это наибольшее значение М_уг. Пусть определены М_уг для всех I. Очевидно, что в полупространстве y>>M_yi система (1.1) неразрешима.

Аналогично рассмотрим inffi{X); он также достигается

2

на множестве О, и равен наименьшему значению fi(X). Обоз­начим его rriyi. В полупространстве

iji<m_yi

система (1.1) тоже неразрешима.

Таким образом, получаем, что вся область существования решений S_y заключена в параллелепипеде

где /==1, 2, ..., riy а грани параллелепипеда

Di=M_vU

У г ttlyi

касаются границы области существования решений системы (1.1) (рис. 1.2).

Эти оценки области S_y фиксируют ее положение в прост­ранстве R_n и позволяют перейти к более детальному рассмот­рению задачи.

Для 'более точных оценок S_y 'ниже применяются специ­ально 'подбираемые функции параметров уи Уч, у_п —

V(y_u У2, •••> Уп) =V(Y).

На функции ^(У) накладываются следующие ограниче­ния:

1. V(Y) определена и непрерывна на множестве значений f_t(X), i=l, 2, щ т. е. для всех y_t=f_t(X), когда X прини­мает значения ^!из Q;

2. для любого вещественного С гиперповерхность

V(Y)=C

разделяет все пространство tR_n на две связные компоненты:

V(Y)<C, V(Y)>C.

Заметим, что второе условие можно в принципе ослабить, но лри этом использование функции V(Y) существенно зат­рудняется из-за необходимости выявления разных связных компонент множеств 1/(У)<С и 1/(У)>С, что в общем слу­чае представляет большие трудности. Обозначим

Z)₁(C) = {Ke/?_n: У(У)<С},

D₂(C) =\{Y^R_n: V(Y)>C},

т. е. D_X(C) есть множество таких У, для -которых V(Y)<C\ D₂{C) —множество таких У, для которых V(Y)^>C. Теорема 1.1. Пусть

Jlf_F=sup V[h(X), f₂(X)₉...,U(X)],

а

mv = inlV[fi(X)₉ f₂(X)₎...J_n(X)].

о

UJ

Тогда область существования решений системы (1.1) в inpo- странстве параметров У содержится ib множестве

R_n\ {{Y:V{Y)>M_v}\]{Y:V{Y)<mv}),

т. е. для_значений параметров (уи У2, •••» y_n)=Y, таких, что У(У)>М_у или У(У)<га_у, система уравнений (1.1) неразре­шима; область существования решений заключена между ги­перповерхностями

V(yu У2> -> Уп)=Му, У{Уи У2, Уп)=ту

Доказательство. Предположим лротивное. Пусть реше- ние_системы (1.1) существует при значениях (уи у2, у_п) = =У, не (принадлежащих множеству

Я» \({У: V(Y)>M_r}U{Y: V(Y)<m_v})_>

т. е. при Уе={У: ВД>Ж_У} U {У: V{Y)<m_v}.

Для определенности ,примем, что Y^{Y ^V(Y)y>M_v}, т. е. V\(Y)>M_v. Это означает, что существует Х={х_и х₂, х_п) и тжой, что у_г=1_г(Х), i= 1, 2, ..., \п. Но

Му = sup ВДХ), Ы*). /,(*)]>

^V[h(X), f₂(X),...,/_n(X)] = V(F),

т. е.

M_v^V{Y). Получено 'противоречие с (предположением

V(Y)>M_v.

Поэтому решения системы (1.1), если они существуют, принадлежат указанному в теореме множеству R_n\ ({У: : V(Y) >M_V) U {У: У (У) <т_у}). Это можно записать в виде формулы

S_yaR_n \({Y:V\(Y)>M_v} U {У : V(Y) <m_v}).

Учитывая, что принадлежность У множеству R_n\({Y : У(У)> >M_V} U {У : V(Y) <m_v} еще не гарантирует разрешимость системы (1.1), теорему 1.1 можно сформулировать и следую­щим образом.

Теорема 1.2. Признак неразрешимости системы (1.1). Если существует функция У(У), такая, что вектор парамет­ров У принадлежит множеству

{У : У(У)>Ж_Г} U {У : У|(У) <m_v},

то система (1.1) неразрешима.

Если заведомо известно, что множество S_y не пусто, то гиперповерхности __

V(yь у₂> y_n)=M_Vy

У {Уь У2у Уп) =т_у

аппроксимируют границу области существования решения в «пространстве У.

Варьируя вид функции V, мож-но получить набор гипер­поверхностей, аппроксимирующих границу S_y. Обозначим на­бор таких функций У«'(У), где а<=Л₀ (здесь а — индекс для различных функций, приобретающий всевозможные значения из множества Л₀). Пусть

M_va=<sup V_a[h (X), f₂(X), f_n(X)]>

б

m_va=inf VaifiiX), f₂(X), f_n(X)].

Теорема 1.3. Если область существования решений в пространстве непуста, то она заключена между семейством гиперповерхностей

m*=Va(y(yu У2, ••> Уп), Ma=V_a(y_u у₂, ..., у_п), а

Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоре­мы, поскольку оно несущественно отличается от доказатель­ства теоремы 1.

Приведенные теоремы дают гибкий и весьма мощный ап­парат для оценки области существования решений систем, имеющих вид (1.1), в пространстве параметров У. Необходи­мо отметить, что для получения условий неразрешимости си­стемы, для оценки границы S_y необходимо решать задачи на экстремум:

sup V[f_x{X)₉ ..., f_n(X)], inf V[f_x(X), f_n(X)].

Это, конечно, довольно трудные задачи.

Таким образом, можно сказать, что задача оценки раз­решимости системы уравнений 'сводится на основе сформули­рованных теорем к задаче изучения экстремальных свойств функций f\(X)₉ f2(X), ..., f_n(X) в отношении семейства функ­ционалов V_a, аеЛ₀, тем самым задача разрешимости свя­зывается с задачей вариационного исчисления. Но в отдель­ных случаях sup V_a[f\(X)]₉ inf V_a могут быть оценены доста-

о о

UU UU

точно просто аналитически, а именно могут быть определены постоянные М_Уа, т_уа, такие, что M_va^zMva, Шуа^туа. При этом могут быть получены сразу и оценены области сущест­вования решения S_y:

S_yaR_n\({У: V(Y)>M_Va} U {У: V(Y)<m_va}).

Докажем это_ Так как M_Va^M_Va, m_va^m_va, то

{У: Vl(Y)>M_Va}cz{Y: V(Y)>M_va}, {У: V(Y)<m_Va}ci{Y: V\{Y) <m_Va}.

Действительно, если У(У)>М_уа, то и подавно У(У)> >М_уа; аналогично, если У(У)<т_уа, то и У(У)<т_уа, отку­да и следует указанное включение. Из этого вытекает, что

({У : V(Y) >M_va} U {У : V(Y) <m_Va}) с cz({Y:V(Y)>M_va} U {У: V(Y)<m_va}).

Но при этом

Д_п\ ({У: V(Y)>M_Va} U {Y: V(Y)<m_vo})iD

R_n\({Y:V(Y)>M_Va}U{Y:V(Y)<m_Va})=)S_v>

что и требовалось доказать.

Таким образом, на основе рассуждений, аналогичных из­ложенным выше, можем утверждать, что если S_y-Ф0, то ги­перповерхности

У*(Уи У2, Уп)=М_Уау Va(yu У2i УпУ=Шуа аппроксимируют границу области S_y.

Для «применения сформулированных теорем надо распо­лагать набором хороших функций, удовлетворяющих указан­ным выше условиям. Рассмотрим различные классы функций и выясним 'Геометрический смысл (получаемых с 'помощью из­ложенных теорем условий.

Простейшим -классом функций, удовлетворяющих необ­ходимым условиям, является множество всех линейных форм

L(K, У)=%1у1+\к<гу₂+ ... -Ип#п. Так как общий множитель функции L не имеет геометриче-

п

ского смысла, то мож'но считать, что 2Я_г²=1, т. е. вектор

i=l

Я={Яь Яг, ..., Я_п} есть единичный вектор. Уравнение

ЦК У) = с,

где С—постоянная, в пространстве R_n дает уравнение ги­перплоскости, причем X — нормальный вектор к этой (гипер­плоскости, а \С\ —расстояние гиперплоскости от начала ко­ординат.

Пусть теперь

M_Li,=sup(hfi(X)+X₂f2(X) + ... +Kj_n(X)), о

mw=inf(W,(J0+Ш*) + - +КШ)).

о

UU

Тогда в 'соответствии с теоремами, сформулированными вы­ше, область существования решения системы (1.1) заключе­на между гиперплоскостями

п

S Ъ*Уг = М_ЬЛ, 1

п

2 X_ty_t—i7iL9%> 1=1

где вектор К дает направление нормали к этим гиперплоско­стям, а 'постоянные M_LlK) in_L>x — расстояния гиперплоскостей от начала координат.

Если выбрать несколько неколлинеарных векторов М¹), А<²\ Я<^я\

и обозначить

sup (кхЩг (X) +A*«f₂ (X) + ... +Шп (X))

о

inf (X,«/i (X) +Я₂«/₂ W + ... ) =m„

9

то набор неравенств

...

будет давать выпуклый многогранник в пространстве пара­метров К, вне которого нет точек, для которых система (1.1)

разрешима (область существования решения принадлежит внутренности этого выпуклого многогранника). На рис. 1.3 показан пример такого многогранникд для п=2.

Таким образом, применение линейных форм позволяет ап­проксимировать область существования решения выпуклым многогранником.

Более сложный класс функций, которые могут быть -ис­пользованы в качестве V(Y)_f—.многочлены второй степени

W(Y) =Ът_{кугу_к+Ъа_ху_и

и k i

где w_ik9 а_{ — действительные коэффициенты.

Рис. {1.4

Набор этих функций позволяет выявить более тонкие осо­бенности строения (множества S_y. Рассмотрим некоторые част­ные случаи.

Пусть W(Y) =2w_thy_ty_h, где матрица коэффициентов w_lh

i, k

положительно определенная, т. е. все собственные значения этой матрицы положительны.

Обозначим

2 г, k

Тогда S_y ограничено гиперповерхностями

I>w_ikyiy_k=M_m 1>ш_{ку_гу_к=т_т. it k i, k

Это два подобных гиперэллипсоида с центром симметрии в начале координат (рис. 1.4).

Если начало координат У\ — У2— ••• =Уп = 0 принадлежит S_y, то m_w=О и меньший гиперэллипсоид вырождается в точ­ку (0, 0 ... 0). Область S_y при этом 'принадлежит области, ограниченной поверхностью

2о\_hy_ty_k=M_w.

г, k

Последняя «касается» области существования решений в той точке, где достигается sup .

I, k

Частным случаем таких гиперэллипсоидов является сфе­ра

п

2 y?—M_w.

1=1

Таким образом, определение

sup БД²(Х)=М_Ю

a

позволяет построить 'сферу в (пространстве параметров, кото­рая содержит S_y, и вместе с тем на сфере существуют точки, для которых система (1.1) разрешима^I (рис. 1.5).

У

Рис. 1.5

Рассмотрим теперь еще один набор функций №(У) из фиксированного класса

W_k{Y)=y_h+iw_xy_x² (£=!> 2,..., я), i =1

М

где все до, (положительны (отрицательны). Пусть

sup WMX), Ш))=М*ь

о

тогда область S_y принадлежит множеству

у_к+ 2 w_ty?^M_wh1

а поверхность

y_h=M_w— 2 w^

i=hk

аппроксимирует границу S_y.

Рис. 1.6

ffrful^un

/

Полученная поверхность определяет эллиптический пара­болоид (при п = 2 — параболу). Рассматривая 2, ..., можно построить семейство параболоидов, внутри которых содержится S_y. Эти параболоиды «касаются» в указанном выше смысле границы области существования режимов (рис. 1.6). Степень приближения таких шараболоидов к границе S_y определяется выбором коэффициентов w_{ (рис. 1.7), а именно тем, насколько кривизна 'параболоида совладает с кривизной границы S_y. Этот вопрос уже требует привлечения к построению функций V(Y) методов римановой геометрии поверхностей и далеко выходит за рамки данного пособия.

В заключение следует заметить, что здесь были фиксиро­ваны лишь самые простейшие классы функций. Конечно, в

Рис. и

конкретных исследованиях могут оказаться полезными и дру­гие виды более детально учитывающие специфику

Ы*),/₂(*),..., MX).