5.5. Замкнутые сети

Пусть между двумя узлами сети a₁ и а₂ существуют два пути (µ₁ µ₂), несовпадающие целиком; в первом .пути т₁ ветвей, во втором — m₂. Обозначим т₁⁺ число ветвей, прохо­димых в первом пути в положительном направлении, m₁^- — число ветвей, проходимых в первом пути в отрицательном направлении. Соответственно обозначим и т₁⁺ и m₁^-

Предположим, что рассматриваемая сеть — заполняемая, и рассмотрим режим, при котором реализуются максималь­ные потоки мощности по каждой из ветвей. Тогда разность фаз в смежных узлах равна π/2. Посчитаем разность фаз для узлов а₁ и а₂. Вдоль первого пути φ_а2—φ_а1 = т₁⁺ π/2 - m₁^- π/2=( т₁⁺ - m₁^-)π/2, для второго пути та же разност фаз: φ_а2—φ_а1 = (т₂⁺ - m₂^-)π/2

Сопоставляя полученное, имеем

т₁⁺ - m₁^- = т₂⁺ - m₂^-

Пусть т₂⁺ = т₁⁺ + k , где k — целое число.

Тогда из предыдущего получим m₂^- = m₁^- +k

Таким образом, для различных путей разность между чис­лом ветвей, проходимых в положительном и отрицательном направлениях, в заполняемых графах одинакова. Из этого следует основное свойство замкнутых заполняемых сетей.

Теорема 5.2. Любой контур замкнутой заполняемой се­ти состоит из четного числа ветвей.

Доказательство. Рассмотрим произвольный контур и вы­делим в нем два различных узла: а₁ и а₂. Контур можно со­ставить двумя различными путями от а₁ к а₂. Число ветвей в первом пути равно т₁⁺ + m₁^-, во втором - т₂⁺ + m₂^- . Но, как показано выше, т₂⁺ = т₁⁺ + k; m₂^- = m₁^- +k. Тогда общее число ветвей в контуре равно

m₂ + m₁ = m₁⁺ + m₁^- + m₁⁺ +k+m₁^- +k= (m₁⁺ + m₁^- +k)*2 , т. е. четное число.

Пусть теперь на графе введена ориентация. При этом об­ход ветвей графа в направлении, противоположном ориента­ции, невозможен.

В неориентированном графе, конечно, предполагается возможность существования контуров. Однако, если граф за­полняемый и ориентация его ветвей задана в соответствии с распределением мощностей, отвечающем режиму заполне­ния, то обход какого-либо контура в направлении, согласо­ванном с ориентацией ветвей, невозможен. Это положение сформулируем в виде теоремы.

Теорема 5.3. В орграфе, соответствующем заполняемой сети, не существует замкнутых контуров

Доказательство. Рассмотрим какой-нибудь контур в не­ориентированном графе сети. Предположим, что режим за­полнения дает такую ориентацию ветвей этого контура, при которой .возможен его полный обход в положительном (на­правлении. Выделим какую-нибудь вершину этого графа а и обозначим фазу вектора напряжения этой вершины φ_а. Будем последовательно обходить в положительном направ­лении этот контур; на каждой ветви в режиме заполнения фаза уменьшается на π/2 . Если в контуре k ветвей, то после обхода получим

φ_а=φ_а -k · π/2

откуда получаем k=0, т. е. предположение о том, что суще­ствует такой контур, неверно. Теорема доказана.

Последняя теорема дает основание для (Преобразования замкнутых заполняемых сетей к сетям, имеющим вид дерева (т. е. сетям без контуров) — преобразования, позволяющего проводить анализ режимов заполнения в схемах без конту­ров. Однако, прежде чем перейти к изложению правил та­ких преобразований, рассмотрим различные замкнутые сети, удовлетворяющие условию заполнения.

Классификация контуров в заполняемых графах

Как показано выше, в заполняемых графах возможны лишь контуры четной длины, т. е. содержащие 2, 4, 6, 8 и т. д. ветвей.

Контуры длины 2. Вообще возможны два таких контура (рис. 5.7,а, б) с различными ориентациями дуг. Однако контур, представленный на рис. 5.7,6, не может принадлежать заполняемому графу по соображениям, изложенным в доказательстве теоремы 5 3. Таким образом, контур длины 2 может быть лишь одного вида, где между узлами обе параллель­ные ветви ориентированы одинаково. Это -по существу одна ветвь с пропускной способностью, равной сумме пропускных способностей параллельных ветвей.

Контуры длины 4. Если рассматривать контуры с точно­стью до вращения^I на плоскости, то можно считать, что ле­вая ветвь, исходящая из верхнего узла, направлена вниз. Для остальных дуг тогда имеем в общем случае ,по два раз­личных направления. Следовательно, всего возможны 2³=8 видов контуров длины 4 (рис. 5.8).

Каждый из 8 контуров проверим по правилу: сумма при­ращений фаз вдоль контура должна быть равна нулю. Это­му условию удовлетворяют лишь 4, 6, и 7-й контуры. Но, «как легко заметить, 4-й и 7-й контуры изоморфны (поворотом на 90° один переводится в другой). Таким образом, заполняемых контуров длийы 4 может быть .всего два. На рис. 5.9 показа­ны эти контуры, а также указано распределение фаз в узлах в режиме заполнения.

Узлы, для которых фазы оказываются одинаковыми, мож­но склеить, тогда получим графы, не содержащие контуров (рис. 5.10).

Контуры длины 6. С точностью до поворота на плоскости контур длины 6 можно расположить так, что верхний узел будет смежен с ветвями, имеющими противоположные на­правления (такой узел всегда существует в заполняемом контуре, иначе все ветви ориентированы в одном направле­нии, что невозможно).

Для выбора ориентации оставшихся четырех ветвей име­ется в общем случае 2⁴=16 различных вариантов. Однако не все эти варианты будут соответствовать заполняемому графу.

Чтобы обход «по контуру давал нулевое приращение фазы, необходимо, чтобы 2 из 4 ветвей были ориентированы по часовой стрелке, а другие 2 — 'против нее. Таким обра­зом, получаем всего возможных вариантов: число сочетаний из четырех по два C₄²= =6. Эти 6 вариантов показа­ны на рис. 5.11. Из этих 6 графов изоморфны между собой графы 2 и 6 (переводятся друг в друга поворотом на 180°) и графы 3 и 4 (переводятся друг в друга поворотом па 120°). Итак, существуют всего 4 неизоморфных заполняемых кон­тура длины 6; они приведены на рис. 5.12, где указано и распределение фаз на узлах контуров. Склеивая узлы с оди­наковыми фазами, получим графы, указанные на рис. 5.13.

Рис. 5.12

Рис. 5.13

Аналогично можно рассмотреть и контуры длины 8. На рис. 5.14 приведены различные виды таких контуров, но в силу громоздкости полного анализа их здесь не приводится (на рис. 5.15 показаны склейки заполняемых контуров дли­ны 8). Вместо этого, докажем следующую теорему, дающую хорошее средство анализа контуров в заполняемых графах.

Теорема 5.4. О склеивании заполняемых контуров. Ес­ли контур четной длины ориентирован как заполняемый граф, а его пропускные способности удовлетворяют условию заполняемости, то склеиванием вершин с совпадающими фа­зами векторов напряжений он может быть превращен в дре­вовидный граф с сохранением суммарных пропускных спо­собностей.

Доказательство. Выше было показано, что указанные в формулировке преобразования могут быть осуществлены для контуров длины 2, 4 и 6. Для доказательства сформулиро­ванного утверждения используем метод полной математиче­ской индукции.

Предположим, что это утверждение справедливо для кон­туров длины 2 (k—1). Рассмотрим контур длины 2k. По­скольку суммарное приращение фазы на контуре равно ну­лю, то ровно k ветвей этого контура ориентировано по ча­совой стрелке, а остальные — k ветвей — против нее. Следо­вательно, есть одна вершина, в которой смежные ей ветви ориентированы в противоположном направлении (в действи­тельности таких вершин не менее двух) (.рис. 5.16,а).

Положим фазу вектора напряжения в этой вершине равной нулю, тогда в двух смежных вершинах фазы вектора напряжения в режиме передачи мощности, равной пропускной способно­сти ветвей, равны либо π/2, либо –π/2. Поэтому в указанном выше смысле эти смежные вершины можно склеить. Полу­чим граф, представленный на рис. 5.16,б, имеющий вид 2 (k—1)-угольника с прикрепленной к одной из вершин вет­вью (двойной). Но при такой операции оставшийся граф ос­танется заполняемым. По предположению индукции 2(k—1)-угольник можно преобразовать склеиванием вершин в дере­во. Приклеивание к дереву одной ветви в любой точке не приводит к образованию контура. Таким образом, и весь граф, полученный в результате рассмотренного преобразо­вания, будет деревом. Теорема доказана.

Рассмотренные преобразования позволяют перейти к ана­лизу и сложнозамкнутых сетей, т. е. сетей, содержащих не­сколько контуров. Однако это выходит за рамки данного по­собия.