5.2. Простейшие (понятия из теории графов

В теории графов есть несколько различных определений и\, различающихся между собой общностью, учетом различ­ных факторов и используемым математическим аппаратом (теория матриц, теория полуколен, теория отображений). Конечно, применительно к анализу электрических сетей мож­но приспособить самое общее определение графа, но при та­ком подходе исследование структурных свойств сети весьма усложняется. Мы рассмотрим два простейших определения, при этом наш подход будет отличаться от общепринятого в части применения этих определений к электрической сети.

Неориентированный граф Говорят, что задан неориенти­рованный граф, если заданы два непустых множества: мно­жество вершин (узлов) А и множество ветвей U, а междл' множеством ветвей и вершин установлена связь: каждая ветвь соединяет ровно две вершины из множества А

Задать такой граф — значит задать булеву функцию на множестве пар узлов (а„ а₃), а_г, а₃^А:

P(a_t9 a,)=itrue,

если существует ветвь, соединяющая узлы а_г и а₃\

Р(а_г, а₃) = false,

если не существует ветви, соединяющей эту пару узлов.

Эта функция удовлетворяет условию симметрии Р(а„а₃) = = Р(а_ЗУ а_г). Это задание конфигурации графа эквивалентно заданию матрицы смежности (соседства) узлов:

П=||рЛ,

p_lk= 1, если Р(а_г) a_A)=true, p_lk=0, если P(a_t1 a_h)— false.

Ориентированный граф. Говорят, что задан ориентирован­ный граф, орграф, если заданы два непустых множества: множество 'вершин (узлов) А и множество дуг (У, а между множеством дуг и пар вершин установлена связь:

• каждая дуга сопоставляется одной единственной упо­рядоченной паре вершин (а_г, а₃)\

• из узла а_г дуга выходит, в узел а₃ дуга заходит.

Задать ориентированный граф опять можно с помощью

булевой функции, определенной на множестве пар узлов. Но в этом случае из истинности Р(а_г, а₃) следует ложность Р(а₃, а_г) и, наоборот, симметрии функции Р(а_г, а₃) нет.

Аналогично предшествующему случаю (возможно задание матрицы П=||рЛ> но при огом р_гк^Ркг-

В соответствии с этим определением можно ввести на множестве вершин отображение Г множества Л в Л по сле­дующему правилу.

Га_г=Ф||, если не существует дуги, выходящей из вершины а,; Га_г=а_л если существует дуга, выходящая из вершины а_х и заходящая <в вершину а_г

При этом Г удовлетворяет условию: если Га_г=а_дУ то Та₃фа_г.

Очевидно, что задание такого отображения Г эквивалент­но заданию б)левой функции на множестве упорядоченных пар вершин.

Пока мы ничего не говорили о значениях функции (P{a_ly a,j) на диагонали, т. е. о значениях Р(а_г) а₃).

Соответственно возникает вопрос и о возможности отобра­жений таких, что Га_г=а_г. Условимся, что дуги вида (а_гу а_г) мы будем опускать из рассмотрения Для отображения Г этот вопрос будет обсужден ниже.

5.3. Заполняемые сети и графы. Задача анализа структуры

сети

Перейдем к применению этих понятий к электрическим се­тям Сеть электрической системы, состоящую из узлов гене- радии и нагрузки и связывающих эти узлы линий электро­передач естественно рассматривать как граф. При этом сеть как таковая всегда дается как неориентированная, т. е. ап­риорно для всех ветвей нет оснований для выбора той или иной ориентации ветви. Вместе с тем для проведения расче­та на множестве ветвей выбирают произвольным образом ориентацию, т. е задают отображение Г. Если после расчета потоки мощности получаются отрицательными, то это ука­зывает на тс, что направление потоков мощности противо­положно выбранной ориентации

Откажемся от такого подхода и будем считать, что ори­ентация ветвей графа подлежит определению. При этом мож­но считать, что задан естественный неориентированный граф сети, а задача состоит в построении отображения Г, опреде­ляющего ориентированный граф (орграф). Определение Г в таком случае соответствует определению истинных направ­лений потоков мощности. Действительно, установление фак­та Ta_t=dj будет соответствовать тому, что от узла а_г к узлу а₃ -передается активная мощность.

Итак, задача определения потокорасчределения мощно­стей состоит в построении отображения Г. Конечно, построе­ние этого отображения не дает исчерпывающую картину по- токораспределения, так как раскрывает лишь направление потоков мощности, но не их величины.

Для однозначности необходимы дополнительные сообра­жения. Для таких соображений возможны различные условия. В этой (главе мы рассмотрим одно из них, непосредственно связанное с общей проблемой, рассматриваемой в пособии.

Предельные мощности по условию существования режима системы определяются пропускными способностями отдель­ных линий электропередач. Из физических соображений ясно, что различные участки границы области существования ре­жима связаны с выходом на ограничения по пропускной спо­собности разных линий, входящих в общую сеть системы. Поэтому для качественного рассмотрения этих закономерно­стей можно положить, что потоки мощности по отдельным дугам ориентированного графа по модулю равны их пропуск­ной способности. Последняя определяется из соотношений, приведенных выше. При введении этого предположения по­строение отображения Г позволяет полностью определить распределение мощностей в сети.

Пусть при данном графе сети и данных пропускных спо­собностях его ветвей существует отображение Г, определяю­щее потокораспределение сети. Тогда конфигурация сети та­кова, что возможно полное использование всех ее пропуск­ных способностей. Такую сеть естественно называть запол­няемой, а граф сети — заполняемым графом.

Если же не существует отображения Г, определяющего потокораспределение сети, то не существует режима, в кото­ром могли бы полностью использоваться пропускные способ­ности ее элементов. Эту сеть будем называть незаполняемой (соответственно и незаполняемый граф).

Очевидно, что заполняемая сеть обладает преимуществом перед незаполняемой в том отношении, что пропускные спо­собности ее элементов могут быть использованы, тогда как в незаполняемой сети ее пропускные способности не реали­зуются. Поэтому выявление структурных свойств графов, связанных с заполняемостью сети, представляет значитель­ный как теоретический, так и практический интерес. С тео­ретической точки зрения исследование таких свойств позво­ляет выявить топологические характеристики сетей перемен­ного тока, связанные со спецификой передачи электроанер­гии переменным током. С практической точки зрения выяв­ление таких характеристик сетей важно для правильного, экономного проектирования новых и развития уже сущест­вующих электрических сетей и структур.

Отчего зависит свойство сети быть заполняемой? Прежде всего от ее конфигурации, от распределения в сети генери­рующих и нагрузочных узлов. Однако простейшие примеры показывают, что этого мало. Для того чтобы построить ото­бражение Г, надо предполагать величины нагрузок в узлах потребления. Конечно, если все нагрузки равны нулю, то нет и потокораспределения, удовлетворяющего режиму, при ко­тором используются все пропускные способности сети (будем называть этот режим режимом заполнения). Поэтому задача выявления заполняемого графа должна быть дополнена ус­ловием, что нагрузки узлов потребления могут быть любы­ми.

Теперь можно сформулировать полностью задачу, рас­сматриваемую ниже.

Пусть даны неориентированный граф сети и пропускные способности всех ее элементов. Найти условия, при которых существует такое распределение нагрузок в узлах потребле­ния электроэнергии и отображение Г, для которых реализу­ется режим заполнения, т. е. потоки мощности по всем ду­гам равны пропускным способностям этих дуг.

Задача, поставленная таким образом, конечно, имеет ре­шение.