Тест №2

1. Дана функция f(x)= .Найдите f^'(3).

А) ; В) ; С) ; D) 2; Е) 1.

2. Задана функция f(x)=cosx². Найдите f ^'(x).

А) х cosx²; В) -2х cosx²; С) 2х cosx²; D) -2х sinx²; Е) 2 sinx².

3. Найдите производную функции f(x)=8^х+ e^x.

А) 8^хlne; В) 8^хln8+ e^x; С) х ln8; D) 8^хln8; Е) 8^хlnх+е.

4. Найдите производную функции f(x)=e^{x+x .}

А) (х+2)е^х+х ; В) (1-2х)е^х ; С) (2х-1)е^х+х ; D) (2х+1)е^х+х ; Е) е^х (1-2х).

5. Найдите производную функции f(x)=e^x-5х³

А) е^х-15х² ; В) е^х-3х⁵ ; С) 1-15х² ; D) е^х-х³ ; Е) 1-15х⁴.

6. Найдите значение производной в точке х₀, если h(x)= , х₀=9 .

А) ; В) ; С) 3; D) ; Е) .

7. Найдите , если f(x)=3sin7x.

А) 21sin7x; В) 21cos7x; С) 21sin7xcos7x; D) sin21x; Е) sin .

8. Вычислите , если =

А) ; В) ; С) ; D) ; Е) -4.

9. Решите уравнение =0, если f(x)=

А) ; В) ; С) нет корней; D) ; Е) .

10. Производная функции f(x)=ln равна:

А) ; В) ; С) ; D) ; Е) .

Справочный материал

Касательная к графику функции

Пусть функция f дифференцируема в точке х₀.Тогда существует касательная к графику функции f в точке (х₀,у₀),где у₀= f(x₀),уравнение которой имеет вид:

у=f(x₀)+f ^'(x₀)(x-x₀).

Геометрический смысл производной

Значение производной состоит в том,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

f^'((x)= = tgα

Механический смысл производной скорости движения.

Пусть точка движется по закону .

Тогда ; .

Где s - путь, пройденный точкой; V - скорость точки; а - ускорение точки.

Упражнения с решениями:

Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

1) - уравнение искомой касательной;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Подставляем значения , и в уравнение касательной: или ,

Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе в точке с абциссой

Решение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время - в секундах. Найдите скорость движения тела в момент времени

Решение:

,

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время - в секундах. Найдите ускорение движения тела в момент времени

Решение:

Функция есть закон прямолинейного движения. Мгновенная скорость этого движения равна производной Мгновенная скорость есть функция от времени. Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени равно производной . Таким образом, ускорение движения в момент времени равно: , т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Поэтому ускорение движения равно второй производной

Итак, = ; ; ;