Тема: Решение тригонометрических уравнений

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

(Виды уравнений: а sin²x + b sinx + c= 0, а cos²x + b sinx + c = 0)

Алгоритм решения:

а) Выполнить преобразования, приводящие к уравнению с одной функцией

б) Решить квадратное уравнение относительно данной функции

в) Решить простейшие тригонометрические уравнения

Пример: 2 sin² x + 5 sin x – 3 = 0

Замена: sinx = t , |t| ≤ 1

2 t² + 5 t – 3 = 0 , t = -3

t = Обратная замена: sin x=-3 нет решения,

sinx = (простейшее уравнение)

(см. таблицу)

2) Уравнения вида a sinx + b cosx = 0 (однородное уравнение первого порядка)

Решается делением на sin x ≠ 0 или cos х ≠ 0

Например: поделим на cos x, получим уравнение а tgx + b = 0

tgx = - (простое тригонометрическое уравнение)

3)Уравнения, решаемые разложением левой части на множители, если справа 0

(левую часть уравнения раскладываем на множители, затем каждый из сомножителей приравниваем к нулю)

а sin²x + b sinxcosx = 0 (вынесем за скобки sin х)

sinx (a sinx + b cosx) = 0 (данное уравнение распадается на 2 уравнения:

1) sinx = 0 (прост. триг. уравнение) . 2) а sinx + b cosx = 0 (однородное триг. уравнение 1-го порядка, смотри пункт 2)

4) Однородные тригонометрические уравнения 2-го порядка

а sin² x + b sinx cosx + c cos²x = 0 Примечание: если уравнение имеет вид

а sin² x + bsinx cosx + c cos²x = d, то правую часть

уравнения умножаем на 1, т.е.

Решается делением на сos² х≠ 0

a tg²x + b tgx + c = 0 (смотри пункт 1)

замена: tgx = t

at² + bt + c =0 …

Дидактический материал:

Решите уравнение

1) 2 cos²x + 9 sinx + 3 = 0 (указание: заменить на 1-sin²x)

Ответ: (-1)ⁿ⁺¹ + πn, n€z

2) sinx + cosx = 0

Ответ: - + πn, n€z

3) 2sin cosx – sinx = 0

Ответ: x = ± + 2πn, n€z, x = πn, n€z

4) 3 sin²x + sinxcosx = 2cos²x

Ответ: x = - + πn, x = arctg + πn, n€z