Ықтималдықтың анықтамалары. Қасиеттерi
Адам
өмiрiнде кездесетiн кездейсоқтық,
белгiсiздiк оны зерттеудi, заңдылықтарын
анықтап алдын алуды керек
етедi. Осы
мақсатта жүргiзiлген
комплекс амалдар мен сынақтарды, зерттеу
эксперименттерiн тәжiрибе
деп атайды. Бiр қарағанда
теңгенi бiр рет лақтырғанда гербпен
түсуi кездейсоқ,
заңдылығы
жоқ сияқты болғанмен
бiрнеше рет лақтырғанда оның герб жағымен
түсу жиiлiгi
ге жуық екенiн байқаймыз (К. Пирсон, Ж.
Биффон).
Ықтималдық теориясы кездейсоқ құбылыстардың ортақ заңдылығын зерттейтын ғылым.
Айталық, бiртектес элементар оқиғалар рет тәжiрибе нәтижесiнде пайда болған оқиғалар делiк. Олардың -i -оқиғасының пайда болуына ықпалы тиетiн оқиғалар делiк.
- оқиғасының пайда болу ықтималдығы деп, оның пайда болуына ықпалын тигiзетiн оқиғалар санының
жалпы
элементар тәжiрибелер
санына
қатынасын айтады және былай белгiленедi.
(П. Лаплас
француз математигi).
Егер - барлық мүмкiн болатын элементар оқиғалар саны, ал - барлық -ға ықпал тигiзетiн оқиғалар саны болса, онда (1) анықтама классикалық анықтама деп аталады.
Егер әртүрлi тәжiрибеде
- сандыры да әртүрлi болса,
онда (1) формула
- оқиғасының пайда болу
жиiлiгiн
немесе
статистикалық
анықтамасы деп аталады.
Анықтамалардан мынадай қортындыға келемiз:
1.
2.
,
егер
- мүмкiн емес оқиға болса
3.
,
егер
- ақиқат оқиға болса
,
егер
- толық
группа болса қалайда ең болмаса бiреуi
пайда болатындықтан.
Ықтималдықтарды қосу және көбейту
Теорема 1. Үйлесiмсiз екi оқиғаларының қайсысы болса да бiреунiң пайда болу ықтималдығы
Теорема 2. Үйлесiмсiз екi оқиғаларының бiрге пайда болуының ықтималдығы
Теорема 3. Үйлесiмдi екi оқиғаларының қайсысы болса да бiреуiнiң пайда болу ықтималдығы.
Теорема 4. Үйлесiмдi екi оқиғаларының бiрге пайда болуының ықтималдығы.
мұндағы
оқиғасының
пайда болғаннан кейiнгi шартты
ықтималдығы деп аталады.
Ескерту. Теоремалар екеу ғана емес оқиғалар үшiн де орындалады.
Ықтималдықты табу формулалары
Ең болмағанда бiр оқиғаның пайда болу формуласы
Айталық,
- толық группа құрайды.
Сәйкес ықтималдықтары
.
Егер
А оқиғасының пайда болуының ықтималдығы
болса, онда
оқиғасының болмауының ықтималдығы
деп белгiленедi
.
Олай
болса
- сәйкес
ықтималдықтары.
оқиғасы
-дердiң
бiреуiнiң, не бiрнешесiнiң пайда болуына
байланысты болса, онда
(1)
мұндағы
-дердiң
бiр мезгiлде болмауының ықтималдығы.
Ендеше
ең болмаса
- бiреуiнiң
пайда болуын көрсетедi.
2. Толық ықтималдық формуласы
оқиғасы толық группа
құрайтын
ұйғарымдардың (гипотезалардың)
бiреуiне
немесе
бiрнешесiне
байланысты,
пайда болады дегендi
былай жазады да,
(2)
толық ықтималдық формуласы деп атайды.
3. Бейес - гипотеза ықтималдығы формуласы
оқиғасы пайда болды десек, оның пайда болуына ықпалын тигiзген толық группа құрайтын гипотезалардың ықтималдығы. Бейес формуласы арқылы табылады.
(3)
(3)
формула
теңдiгiнен шығады.
4. Бернулли формуласы.
Бiр-бiрiне
тәуелсiз
тәжiрибеде
оқиғасының пайда болу ықтималдығы
бiрдей
-рет
тәжiрибе жасалғанда
оқиғасының
рет пайда болуының ықтималдығы
Бейес формуласы арқылы былай жазылады.
(4)
5, 6. Лаплас формуласы мен теоремасы
Бернулли формуласы сандары үлкен болмағанда қолдануға ыңғайлы. Ал үлкен сандар болса, эксперименттiк функциялары арқылы өрнектелген Лаплас формулаларын қолдануға болады
(5)
Егер
оқиғасы
аралығында пайда болса,
онда
(6)
мұндағы
- эксперименттiк
функцияларының таблицалық мәндерi
берiлген.
Ескерту
1.
- жұп функция
болғандықтан
-тiң
терiс мәндерi үшiн
-тiң
оң мәндерiн
алады
2.
тақ болғандықтан
үшiн
-тi
алып,
мәнiн терiс таңбамен алу
керек.