3.9. Нахождение вектора по заданным условиям
Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию , где = (1, 2, -7).
Таблица 3.9 – Исходные данные
№ вар. |
( |
( |
( |
№ вар. |
( |
( |
( ) |
1 |
(1; 3; 10) |
(-3; -5; -9) |
(-15; 3; 6) |
16 |
(2; 4; -5) |
(8; -1; -6) |
(3; 4; 2) |
2 |
(3; -6; -8) |
(9; -5; -1) |
(-3; -3; 7) |
17 |
(0; 8; 6) |
(1; 7; -7) |
(6; 5; 12) |
3 |
(5; 3; 7) |
(1; 5; -2) |
(7; -11; 12) |
18 |
(-4; 1; 8) |
(-6; 7; 6) |
(-9; 4; 10) |
4 |
(10;6; 4) |
(0; 3; 7) |
(2; 14; 3) |
19 |
(2; 7; -10) |
(1; -1; 15) |
(0; 20; -7) |
5 |
(5; 7; -3) |
(6; 3; -4) |
(5; 7; 11) |
20 |
(1; 5; 7) |
(-1; 12; 3) |
(7; -5; 3) |
6 |
(3; -8; -9) |
(0; 5; 6) |
(1; -6; -5) |
21 |
(0; -3; 8) |
(-6; -10;-8) |
(4; -3; 6) |
7 |
(3; 3; 8) |
(-12; -4; 1) |
(4; -6; 8) |
22 |
(-3; 4; 7) |
(2; 4; 7) |
(8; -1; 12) |
8 |
(0; -4; 11) |
(2; 6; 10) |
(1; 4; -4) |
23 |
(-2; 5; -2) |
(3; 10; -7) |
(5; 6; -9) |
9 |
(3; -4; 5) |
(4; 15; 7) |
(0; -16; -4) |
24 |
(5; 14; -2) |
(0; 10; 4) |
(0; 7; 7) |
10 |
(1; 11; 10) |
(2; 5; 11) |
(4; -2; 5) |
25 |
(-3; -6; 3) |
(-2; 4; 1) |
(5; 12; -1) |
11 |
(5; -5; -5) |
(3; -4; 10) |
(-6; 4; -8) |
26 |
(-2; 2;-10) |
(-8; 8; 10) |
(3; -2; 18) |
12 |
(1;-9; 5) |
(3; -3; 8) |
(3; 13; 9) |
27 |
(5; 2; -2) |
(4; 3; 3) |
(8; 4; -7) |
13 |
(2; -2; 4) |
(3; 2; 6) |
(4; -3; 5) |
28 |
(1; -7; 4) |
(-3; 4; 7) |
(6; -4; 6) |
14 |
(3; 1; -3) |
(8; -4; -6) |
(4; 2; 0) |
29 |
(7; -2; 7) |
(5; 4; 5) |
(-11; -6; -4) |
15 |
(7; 5; -2) |
(6; 3; -2) |
(4; 11; 2) |
30 |
(4; -6; -6) |
(2; -3; -5) |
(0; 10; -6) |
)
)
4. Контрольные вопросы по модулю «векторная алгебра»
Группа 1. Для ответов на эту группу вопросов достаточно сведений, изложенных в данном методическом указании.
Каким условиям должны удовлетворять векторы , и , чтобы из них можно было составить треугольник со сторонами, равными ,
,
и
?Векторы и , имеющие равные длины, отложены от общего начала. Докажите, что вектор + , если отложить его от того же начала, будет направлен по биссектрисе угла между и .
Каким условиям должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор делил угол между и – пополам?
Что представляет собой геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и общую ортогональную проекцию?
Векторы , и образуют треугольник. Чему равна пра( + )?
Найдите проекцию единичного вектора на ось l, с которой он образует угол: а) 300; б) 450; в) 1200; г) 900.
Известно, что прl =
.
Какой угол образует вектор с осью l?Докажите, что сумма проекций векторов и на ось, имеющую направление вектора + , равна
.Как вычисляется угол между векторами и ? Найти условие ортогональности двух векторов.
Найти условие коллинеарности двух векторов.
Докажите, что векторное произведение компланарных векторов равно нулю.
Доказать, что векторное произведение векторов не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому.
На оси ординат найдите точку, отстоящую от точки А(4; -6) на 5 единиц.
На оси абсцисс найдите точку, отстоящую от точки А(4; -6) на 5 единиц.
Векторы , и образуют треугольник. Выразите длину вектора через и .
Группа 2. Для ответов на эту группу вопросов необходимо воспользоваться дополнительной литературой (см. библиографический список).
Используя свойство проекции суммы векторов на ось, докажите теорему синусов.
Используя свойство проекции суммы векторов на ось, докажите теорему косинусов.
Докажите, что для любых векторов и справедливо неравенство
+
.
В каком случае левая часть равна правой?Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы: а)
;
б)
;
в)
?Докажите, что для всякого треугольника АВС выполняется неравенство
cos
+cos
+cos
≤
.
Зная векторы и , на которых построен параллелограм, выразите через них вектор высоты, перпендикулярной стороне .
Докажите, что не может быть двух разных точек P и Q таких, что
+
+
=0
и
+
+
=0.Докажите, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке, а также что эта точка делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основанию.
Может ли вектор в пространстве составлять с координатными осями углы: а) 45, 60, 1200; б) 45, 135, 600? В случае положительного ответа укажите координаты вектора, считая его длину равной 1.
Найдите координаты точки М в пространстве, если известно что длина ее радиус-вектора равна 8 и угол наклона к оси Ох составляет 450, а к оси Оу – 600.
Сторона ВС треугольника АВС разделена точками P и Q на три равные части. Обозначив
и
,
выразите через
и
вектора
и
.На стороне АВ треугольника АВС взята точка D так, что прямая CD - биссектриса угла при вершине С. Выразите через
и
следующие векторы:
,
и
.Найдите угол между биссектрисами координатных углов хОу и уОz.
Чему равен косинус угла между диагональю куба и его ребром?