М
инистерство
образования и науки Украины
Севастопольский национальный технический университет
Векторная алгебра
Методические указания и контрольные задания
по дисциплине «Высшая математика»
для студентов всех специальностей и форм обучения
Севастополь
2007
УДК 514.742.2
Векторная алгебра. Метод. указания и контрольные задания по дисциплине «Высшая математика» для студентов всех специальностей и форм обучения / Сост. С.Г. Глеч. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2007. – 28 с.
Целью методических указаний является усвоение студентами основных теоретических сведений по векторной алгебре и привитие практических навыков при решении инженерных задач.
В помощь студентам приведено решение типовых задач, предлагаемых для изучения темы «Векторная алгебра».
В каждом задании по 30 вариантов задач.
Методические указания предназначены для студентов всех специальностей и форм обучения.
Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры «Высшая математика» 9 ноября 2007 г., протокол № 3 .
Допущено учебно-методическим центром и научно-методическим советом СевНТУ в качестве методических указаний.
Рецензент: Ларионова Е.Н., старший преподаватель кафедры высшей математики
Содержание
1. Элементы векторной алгебры …..………………... 4
2. Образец выполнения контрольного задания
по модулю «Векторная алгебра» …………………. 9
3. Варианты контрольных заданий …………………. 15
3.1. Коллинеарность векторов ……………………….. 15
3.2. Скалярное произведение векторов ……………. 16
3.3. Действия над векторами ………………………… 17
3.4. Разложение вектора по базису …………………. 18
3.5. Векторное произведение ………………………… 20
3.6. Площадь параллелограмма ……………………….. 21
3.7. Компланарность векторов ……………………….. 22
3.8. Смешанное произведение ………………………... 24
3.9. Нахождение вектора по заданным условиям ….. 25
4. Контрольные вопросы по модулю
«Векторная алгебра» ….........................................…… 26
Библиографический список ……....…………………… 28
1. Элементы векторной алгебры
1.1. Основные понятия и определения
В математике и ее приложениях встречаются различные величины. Некоторые из них, например, длина линии, площадь фигуры, объем или масса тела, полностью определяются числом. Такие величины называют скалярами.
Для определения других величин, таких, например, как скорость или сила, недостаточно одного числа, а необходимо знать присущее им направление. Такие величины называют векторными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отрезок прямой линии называют направленным отрезком или вектором, если указано, какой из его концов является началом отрезка, а какой – концом.
Вектор с началом
в точке А и концом в точке В обозначают
или
.
Длину вектора
называют его модулем и обозначают
;
если вектор записан одной буквой, то
его модуль обозначают
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Три вектора называют компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы называют равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковые направления.
Равенство векторов
записывают в виде
=
.
Определение равенства векторов означает,
что при совмещении их начал совпадут и
их концы.
Если начало вектора совпадает с его концом, то вектор изображается одной точкой и не имеет направления. Такой вектор называется нулевым или нуль-вектором. Модуль нулевого вектора равен нулю. В соответствии с определением коллинеарных векторов, нулевой вектор коллинеарен любому другому.