Раздел 2. Элементы комбинаторики

2.1. Комбинаторика

Комбинаторика – раздел дискретной математики, рассматривающий задачи существования, эффективного построения, перечисления и оптимизации объектов, зависящих от достаточно большого числа дискретных переменных. Создатель комбинаторики – Готфрид Вильгельм Лейбниц. Именно он и ввел термин «комбинаторный» в современном его значении в работе «Dissertatio de Atre Combinatoria», написанной в 1666 году. До середины ХХ века считалось, что комбинаторика может использоваться как поставщик интересных и трудных задач для математических олимпиад. Положение существенно изменилось в связи с созданием вычислительной техники. Именно благодаря ЭВМ и началось подлинное становление комбинаторики как математической теории. В настоящее время методы комбинаторики широко используются и в математике, и в кибернетике, а также в многочисленных прикладных исследованиях.

2.2. Различные комбинаторные соотношения

Правило суммы. Если есть конечные множества А и В, причем A ∩ B = Ø, тогда |A U B| = |A| + |B| (число элементов в объединении множеств есть сумма чисел элементов в множествах).

Правило произведения. Пусть AxB={( , )/ A, B} – декартово произведение множеств A и B, тогда |AxB| = |A|·|B| (мощность множества АxВ есть произведение мощностей множеств А и В).

Пример 1. Пусть A = {1,2}, B = {a, b, c}. Тогда AxB = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}. |AxB| = |A|·|B| = 2·3 = 6.

Правило можно обобщить на n множеств: Пусть А₁, ... , А_n – различные множества, тогда А₁x...xА_n = {(α₁, α₂,…, α_n) | α₁ А₁, α₂ А₂,…, α_n А_n} и

|А₁x...xА_n| = |А₁|•|А₂|•••|А_n|.

Пример 2. Найти число двоичных наборов длины n.

Решение: Пусть А₁ = {0,1}, … , А_n = {0,1}. Тогда

, где E₂ = {0,1}.

Пусть нам дано некоторое конечное множество X = {x₁, … , x_n}. Рассмотрим некоторое его подмножество { }. В дальнейшем такое подмножество назовем r-выборкой.

R-выборки бывают двух видов:

1. Если в r-выборке важен порядок элементов, тогда мы будем называть ее r-перестановкой из n элементов.

2. Если в r-выборке порядок элементов не важен, тогда будем называть ее r-сочетанием из n элементов.

В каждом из видов возможны 2 случая:

а) Допускается повторение элементов, тогда это r-перестановки с повторениями (или r-сочетания с повторениями).

b) Все элементы разные, тогда это r-перестановки без повторений (или r-сочетания без повторений).

Утверждение 1. Число r-перестановок с повторениями из n элементов П(n,r)=n^r.

Доказательство: Так как мы на каждое место можем поставить любой из n элементов, а таких мест r, значит всего возможностей по правилу произведения n^r.Действительно, А₁=X,…,А_r = X , тогда .

Пример 3. X= {1,2,3}. Сколько двузначных чисел мы можем составить из элементов множества X ?

Решение: Их всего n^r , где n=3, r=2. Тогда 3² = 9 чисел, а именно числа 11, 21, 31, 12, 22, 32, 13, 23, 33.

Утверждение 2. Число r-перестановок без повторений из n элементов , где .

Доказательство: , ; А₂=Х₁, где , , … , , где , . Выражаясь словами, на первое место можно поставить n штук элементов, на второе – элементов и так далее, на последнее r-ое место можно поставить n-r+1 элементов. Тогда по правилу произведения

.

Замечание. Очень часто r-перестановки без повторений из n элементов в литературе называют размещением из n элементов по r. Приняты следующие обозначения P(n,r)=A^r_n = (n)_r (число размещений из n элементов по r).

Пример 4. Х={1,2,3}. Сколько двузначных чисел без повторяющихся цифр можно составить из элементов множества Х?

Решение: Их всего P(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1), где n=3, r=2. Тогда P(3,2)=3·2=6 чисел (12, 21, 13, 31, 23, 32).

Следствие 1. Если в утверждении 2 r=n, то это перестановка из n элементов, и тогда .

Пример 5. X={1,2,3}. Сколько трехзначных чисел без повторяющихся цифр можно составить из элементов множества Х?

Решение: их всего P_n=n!, где n=3. Тогда P₃=3!=1·2·3=6 чисел: 123, 213, 231, 321, 312, 132.

Формула Стирлинга: ( ~ - асимптотически равно).

Если , то .

Утверждение 3. Число r-сочетаний без повторений из n элементов .

Доказательство: Берем произвольную неупорядоченную выборку { } – r-элементов. Из этой одной неупорядоченной получаем r! упорядоченных. А так как всего неупорядоченных выборок , то - число упорядоченных выборок. Поскольку каждая упорядоченная выборка получена перестановкой элементов в неупорядоченной, то

.

Пример 6. X={1,2,3}. Найти : 12, 13, 23 (неупорядоченные двузначные числа без повторяющихся цифр).

Пример 7. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Решение: В первом круге состоится столько матчей, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, содержащего 18 элементов, т.е. их число равно = 153.

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течении сезона состоится 306 встреч.

Числа , где r=0,1,…,n, называют биномиальными коэффициентами.

0! = 1 ( по определению, для удобства).