Раздел 1. Элементы теории множеств
1.1. Множества и операции над ними
Введём понятие множества с элементами любой природы. Это понятие не определяется, а лишь иллюстрируется примерами. Например, можно говорить о множестве яблок в мешке, множестве квадратов на плоскости, множестве натуральных чисел и т.д.
Множество считается заданным, если о каждом элементе можно однозначно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.
В
дальнейшем множества обозначим прописными
латинскими буквами, а их элементы –
строчными буквами. Если элемент x
принадлежит множеству X
, то пишут x
X,
в противном
случае пишут x
X.
Пример 1. Если X – множество русских слов из словаря В.И.Даля, то «семья» X, а 8 X.
Пример 2. Если N – множество натуральных чисел, то 4 N, а 0,3 N.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество равносторонних треугольников равно множеству равноугольных треугольников, а множество параллелограммов – множеству четырехугольников, имеющих центр симметрии. Если множества Х и Y равны, то пишут Х =Y.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают Ø.
Множества бывают конечными и бесконечными. Множество яблок в мешке, рыб в океане, видов живых существ конечны - количество их элементов можно выразить натуральным числом (хотя мы не всегда знаем значение этого числа). Множества натуральных чисел, ромбов на плоскости, шаров в пространстве бесконечны. Конечное множество можно задать списком его элементов. Два списка элементов одного и того же множества Х могут отличаться друг от друга лишь порядком элементов. Например, {1,2,3} и {2,3,1}- списки одного и того же множества {1,2,3} = {2,3,1}.
В дальнейшем мы будем обозначать число элементов конечного множества Х через |X| и называть это число мощностью множествa Х. Множество X, содержащее n элементов, будем называть n – элементным множеством, где |X| = n.
Пример 3. Пусть Х- множество простых чисел, меньших, чем 20, т.е. Х= {2,3,5,7,11,13,17,19}. |X|=8.
Бесконечное множество списком задать нельзя. Его задают обычно характеристическим свойством, т.е. свойством, которым обладают все элементы множества и не обладают элементы, не принадлежащие этому множеству.
Множество, заданное характеристическим свойством Р(х), обозначают {х | Р(х)}. Например, запись {х | х² -7х+ 12= 0} обозначает множество корней уравнения х² -7х+12= 0, т.е. множество {3,4}.
Если
каждый элемент множества Х
является в то же время элементом множества
Y,
то говорят, что Х-
подмножество
множества Y.
В этом случае пишут: Х
Y.
Например, множество квадратов является
подмножеством множества ромбов, а
множество ромбов – подмножеством
множества параллелограммов. Множество
натуральных чисел, делящихся на 10,
является подмножеством множества четных
натуральных чисел.
Очевидно, что
1) если Х Y и Y Z , то Х Z;
2) если Х Y и Y X , то Х = Y;
3) Ø Х и Х X.
Определение. Пересечением множеств Х и Y называется множество
Х ∩Y , состоящее из элементов, которые принадлежат как X, так и Y.
Например, множество квадратов является пересечением множества прямоугольников с множеством ромбов.
Определение. Объединением множеств Х и Y называется множество ХUY, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х,Y.
Например, множество треугольников является объединением множеств косоугольных и прямоугольных треугольников.
Аналогично определяются операции пересечения и объединения над любыми совокупностями множеств.
Определение. Разностью множеств Х и Y называется множество Х \ Y, состоящее из всех элементов множества Х , не принадлежащих множеству Y. Если Y Х , то разность Х \ Y =Y΄x называют дополнением множества Y в множестве X (т.е. Х= Y U Y΄x).
Например, разностью множества четных чисел и множества чисел, кратных 3, является множество четных чисел, не делящихся на 6. Дополнением множества квадратов в множестве прямоугольников является множество прямоугольников с неравными соседними сторонами.
Изобразим схематически операции над множествами Х и Y:
Такие изображения множеств и операций над ними называют диаграммами Эйлера-Венна.